1.2应用举例 (2)

,高度,角度,距离,有关三角形计算,距离的测量,1、正弦定理：,知识点小结,可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。,a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC,可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。,2、余弦定理：,经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。,光学经纬仪,钢卷尺,引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？,练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？,练习2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？,分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,公路,河流,解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,测量问题之一：,水平距离的测量,两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示),需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。,两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示),需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。,图1,图2,两点都不能到达,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,实际问题数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解,解应用题的一般步骤是：,小结,练习1如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，则A，B两点的距离是,答案,在BCD中，BDC603090，BCD45，CBD9045BCD，,在ACD中，ADC30，ACD6045105，CAD180(30105)45.,在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCA,1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为,答案,解析,B1804510530，,1,2,3,2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_.,由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4.,4,答案,解析,3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_km.,7,答案,解析,因为A，B，C，D四点共圆，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cosD，,故AC7.,高度,角度,距离,有关三角形计算,高度和角度的测量,解应用题中的几个角的概念,1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：,2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，如图,问题的本质如图，已知AEC为直角，CDm，用、m表示AE的长，所得结果再加上h.,梳理,练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角60，在塔底C处测得A处的俯角30。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC=42-28=14(m),答：山的高度约为14米。,解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理，,例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.,梳理,问题本质是：如图，已知三棱锥DABC，DC平面ABC，ABm，用、m、表示DC的长,练习如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.,解答,由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，,例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？,答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.,跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？,解答,如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat(海里)，,0CAB90，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇,当堂训练,1江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.,设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，,30,所以AB30(m).,答案,解析,1,2,3,2.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_.,答案,解析,3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是,答案,解析,在BCD中，CD10m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，,4.一艘海轮从A处出发，以40nmi