【创新设计】2011届高三数学一轮复习 6.28 不等式的证明（二）课件 理 大纲人教版

掌握分析法证明简单的不等式/了解用反证法、换元法、判别式法等证明不等式,第28课时不等式的证明（二）,1分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达2反证法：正难则反，否定所要证明不等式的结论，设法推出矛盾3换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：,已知x2y2a2，可设xacos，yasin；已知x2y21，可设xrcos，yrsin(0r1)；已知1，可设xacos，ybsin；已知1，可设xasec，ybtan.4判别式法：如能将不等式问题转化为与二次函数的相关问题，可考虑使用一元二次方程的判别式给以证明,1若实数m、n、x、y满足m2n21，x2y23，则mxny的最大值是()A2B.C.D.解析：本题考查两角和与差的三角函数公式及换元法的应用；据题意令msin，ncos，xsin，ycos，故mxnysinsincoscoscos().当且仅当cos()1时取得最大值答案：C,2设x0，y0，M，N则M、N的大小关系是()AMNBMNCMNDMN解析：设函数f(x)(x0)xyx，xyy，答案：B,3已知a0，b0，且ab2，则，中()A至多一个小于2B至少一个小于2C都小于2D都大于2答案：B4若x2y24，则xy的最大值是_解析：设x2cos，y2sin，则xy2cos()2.答案：2,分析法是执果索因，找出使不等式成立的充分条件(可以是充要条件)，在使用分析法证明不等式时，一定要弄清因果关系，注意叙述语言的规范，而反证法是通过否定结论，推出矛盾；在用分析法、反证法证明不等式时有时可起到异曲同工的效果,【例1】已知p3q32，求证：pq2.证明：证法一：由p3q32知(pq)(p2pqq2)2，p2pqq20，pq0，又(pq)(p2pqq2)(pq)，2，即(pq)38，因此pq2.证法二：假设pq2，则(pq)38，即p33p2q3pq2q38；当pq2时，可证p3q3p2qpq2，4(p3q3)8，即p3q32，此与p3q32矛盾，因此pq2.,证法三：假设pq2，即q2p，则p3q3p3(2p)3812p6p226(1p)22，即p3q32，此与p3q32矛盾，因此pq2.,变式1.求证：3(1a2a4)(1aa2)2.证明：证法一：假设3(1a2a4)(1aa2)2，即3(1a2a4)1a2a42a2a32a2，整理得(a1)2(a2a1)0，此为矛盾，因此3(1a2a4)(1aa2)2.证法二：由柯西不等式(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2得3(1a2a4)(121212)(12a2a4)(1aa2)2.,利用换元法证明不等式，主要是根据条件和结论的特征，掌握较为常见的三角或代数换元,【例2】(1)已知a，bR，|a|1，|b|1，求证：ab1；(2)已知a，bR，且a2b21，求证：|a22abb2|；(3)已知a，b，cR，且abc1，求证：a2b2c2.证明：(1)证法一：ab证法二：a、bR，|a|1，|b|1，设asin，bsin，其中，则absinsinsinsincoscoscos()1.故原不等式成立,(3)证法一：设a，b，c.因为abc1，所以0，于是a2b2c2()(222).证法二：abc1，a2b2c2a2b2c20，a2b2c2.,通过构造关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)，利用一元二次方程ax2bxc0有实根的充要条件是0，列不等式进行求解证明,【例3】求证：证明：证法一：设y，则(1y)x2x1y0.当y1时，方程有解x0；当y1时，xR，14(1y)20，y.故,证法三：设xtan，则1sincos1sin2，又1sin21，y.原不等式成立,1用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须以否定的结论为条件进行推理，即必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的2换元法是不等式证明的重要方法，在应用换元时要注意换元的等价性3放缩法是不等式证明的重要变形方法之一，放缩要有目标，要恰到好处，目标往往从证明的结论考查4判别式法应先将问题转化为二次三项式相关的问题.,【方法规律】,(2009山东)(本小题满分12分)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立,解答：(1)由题意：Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1).b，即b，解得r1.(2)由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为,【答题模板】,当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立,由均值不等式可得：成立，故成立，所以，当nk1时，结论成