函数的周期性

函数的周期性,我们无惧高考，高考只是我们实现梦想的一个跳板！美文网小编为大家收集整理了高三毕业说说，供大家欣赏借鉴！高三毕业说说最新1.分别在即，纵有千言万语一时凝噎，只好挚手相看泪眼也许你神往于雪山的颜色开一朵雪白的花象心一样纯洁也许你酷爱太阳的火力开一朵火红的花象梦一样美丽！2.我们都曾在人生的海洋中相遇，岁月飘忽，必然会改变许多东西。也许，时间会使许多绚烂归于平淡。但是，对你的怀念却是永久的。不变的，只有这份真挚的情谊。3.水不因石而阻友谊不因远而疏愿友谊长存，以最真诚的心祝福你年年平安。4.有一首歌曾轻声地唱过，在年轻的岁月中，或许时间带走一切拥有过的季节5.我笑那些想毕业却又在将来后悔的青年6.真的有那么一个女孩，和我一起上课偷吃零食，迟到一起罚站，戴一副耳机听歌。7.毕业，多么刺眼的一个词儿。8.努力吧！为了以后好日子必须幸苦一阵子。9.各奔东西后才知，一别也许就是一世、10.据说这是最早的呻吟体：密封线内不要答题11.可不可以不要让毕业和分手划上等号12.六月的考试，谁为我加油？1,一、函数周期性的定义1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3.周期不唯一：若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期，则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期.,f(x),存在一个最小,知识梳理,考点一、求函数的周期例1、函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为_.,【解析】f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x).最小正周期为2.,考点二、利用函数的周期求函数值例2、已知函数f(x),对任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)时，f(x)=2012x2,则f(2013)=_.,【解析】f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期为4，f(2013)=f(5034+1)=f(1)=201212=2012.,2.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】选B.f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数，f(8)=f(0).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(8)=f(0)=0,故选B.,【变式训练】,考点三、函数奇偶性与周期性3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2011)()A2B2C98D98解析：由f(x4)f(x)，f(x)的周期是4，f(2011)f(50243)f(3)f(1)，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.答案：A,2.5,【变式训练】,(2012长安模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(4+x)=-f(-x)，且当x2,4)时，f(x)=log2(x-1)，则f(2010)+f(2011)的值为()(A)-2(B)-1(C)1(D)2,【变式训练】,【解析】选C.f(x)为偶函数，f(4+x)=-f(x).f(x+8)=f(x+4)+4)=-f(4+x)=-f(x)=f(x),f(x)为以8为周期的周期函数，f(2010)=f(2518+2)=f(2),f(2011)=f(2518+3)=f(3),f(2010)+f(2011)=f(2)+f(3)=log2(2-1)+log2(3-1)=1.,考点四、函数的综合应用设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+1)=f(1-x).当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x2,4时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2013).,【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)是周期为4的周期函数.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,当x-2,0时，f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.,设函数f(x)是(-,+)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当x0,1时，f(x)=x.(1)求f()的值；(2)当x-4,4时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积.,【变式训练】,【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数.f()=f(-14+)=f(-4)，f(x)是(-,+)上的奇函数，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.,(2)由f(x)是(-,+)上的奇函数与f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)，故知函数y=f(x)的图像关于x=1对称，又x0,1时，f(x)=x，且f(x)的图像关于原点对称，则f(x)的图像如图所示,当x-4,4时，f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积为：S=4SOAB=4(21)=4.,【例3】(2011新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实数x满足：f(x+1)=且当x-1,1时，f(x)=x2.(1)求f(2012);(2)确定函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点个数.,【解题指南】解答(1)题需先由f(x+1)=探究出函数f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2012),(2)作出y=f(x)及y=|lgx|的图像，从而使问题得解.,【规范解答】(1)对任意xR,都有f(x+1)=f(x+2)=f(x+1)+1)=f(x)是以2为周期的函数，f(2012)=f(21006+0)=f(0)=02=0.,(2)根据f(x)的周期性及f(x)在-1,1上的解析式可作图如下可验证当x=10时，y=|lg10|=1;x10时，|lgx|1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个.,【反思感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化.,1.(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为()(A)6(B)7(C)8(D)9,【解析】选B.令f(x)=x3-x=0,即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1,因为0x2,所以此时函数的零点有两个,即与x轴的交点个数为2.因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以2x4,4x6上也分别有两个零点，由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知f(6)也是函数的零点，所以函数y=f(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为7.,考点四、函数的奇偶性与周期性,【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数.(2)当x2,4时，求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2013).,【解析】(1)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0，f(0)+f(1)+f(2)+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,3.(2013福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期