1.8_函数的连续性

1/27,第八节函数的连续性,一、函数的连续性,二、函数的间断点,2/27,前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等。在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一种重要特征。如运动着的质点，其位移S是时间t的函数。当时间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特征我们称之为函数的连续性。与之相对立的一个概念，我们称之为间断。,3/27,【定义1】,【注】f(x)在x0处连续的三个条件（三条缺一不可）,则称函数y=f(x)在点x0处连续.,4/27,【例】,【证】,由定义1知,f(x)在x0的邻域内显然有定义,教材例1、2讲解,5/27,【单侧连续】,【左连续】,【右连续】,【定理1】,6/27,【例】,【解】,右连续但不左连续，,教材例3、4讲解,7/27,4.【连续函数与连续区间】,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,【几何表现】,闭区间a,b上的连续函数的集合,8/27,函数的连续性,1.【增量】,【增量的几何解释】,9/27,【连续的定义】,【概念描述】,【定义3】,10/27,函数的间断点,【描述】,如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.,函数f(x)在点x0处连续必须满足的三个条件,11/27,1.【间断点定义】,设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列三种情形之一：,在x=x0没有定义；,虽在x=x0有定义，但不存在；,虽在x=x0有定义，且存在，但,则函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.,12/27,跳跃间断点,【补例4】,【解】,2.【函数间断点的几种常见类型】,(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).,13/27,可去间断点,【补例5】,14/27,【解】,【说明】可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义,则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.,15/27,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,【特点】,可去型：左右极限存在且相等.,跳跃型：左右极限存在但不相等.,16/27,(2)【第二类间断点】,【补例6】,【解】,【特点】,这种情况称为无穷间断点,17/27,【例7】,【解】,这种情况称为振荡间断点.,【特点】,振荡而不存在，但均不为，称之.,18/27,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.特别地,【注意】不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,19/27,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,【观察练习】立即说出下列间断点类型:,20/27,又如:,无穷间断点,振荡间断点,可去间断点,21/27,零点定理与介值定理,【定义】,【定理6】(零点定理):,1.零点定理,即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.,22/27,【补例8】,【解】,23/27,【几何解释】,2、介值定理,定理7(介值定理):,24/27,最大值和最小值定理,【定义5】,例如,【注意】,最值可以取在闭区间的端点处.,25/27,【定理8】(有界性与最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值.,【推论】在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,26/27,右连续,三、小结,左连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断