《几何与代数》 科学出版社 第一章 行列式和线性方程组的求解3

教学内容和基本要求,第一章行列式和线性方程组的求解,趣味思考题,二、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？,(1)行列式D有两行或两列的元素相同；,(2)行列式D有两行或两列的元素成比例；,(3)行列式D有至少有一行或一列元素都是零；,(4)主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；,(5)主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；,(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式,三、设D=,证明:D=(1)mnD1D2.,D2=,证明:将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列，可将其移到第一列，以此类推，共做mn次相邻对换，即可得到,所以D=(1)mn|A|B|.,二.行列式的主要计算方法,1.3行列式的性质及计算,1.化为三角形行列式,|AT|=|A|.,3.行列式按行(列)展开,2.箭形行列式的计算,4.降阶递推法,5.分解行列法,|A|=ai1Ai1+ainAin=a1jA1j+anjAnj,1.3行列式的性质及计算,例6.,=14.,3.行列式按行(列)展开,例10.,=2.,注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行(列)只有一个非零元素；再按此行(列)展开计算.,第一章行列式和线性方程组的求解,1.3行列式的性质及计算,=6A31+3A32+5A33.,那么4A31+3A32+6A33=,4A31+3A32+6A33=,436314436,=0.,A31,A32,A33与a31,a32,a33的取值无关,0,?,第一章行列式和线性方程组的求解,1.3行列式的性质及计算,=a12A12+a22A22+a32A32.,下面来看a11A12+a21A22+a31A32=,a11A12+a21A22+a31A32=,a11a13a21a23a31a33,=0.,推广到一般情形,我们有如下结论:,推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(ij).,A12,A22,A32与a12,a22,a32的取值无关,0,?,第一章行列式和线性方程组的求解,a11a21a31,1.3行列式的性质及计算,推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(ij).,定理.,|B|=a1iA1j+a2iA2j+aniAnj,=b1jA1j+b2jA2j+bnjAnj,证明：,=0,第一章行列式和线性方程组的求解,例11.,2A21+4A228A23=,248,=0,M13M233M33=,A13+A233A33,=,113,030,=30,定理.,1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,例12.证明n阶(n2)范德蒙Vandermonde行列式,证明:当n=2时,D2=(a2a1).现设等式对于(n1)阶成立.,11110a2a1a3a1ana10a2(a2a1)a3(a3a1)an(ana1)0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)ann-2(ana1),rna1rn-1,r3a1r2,r2a1r1,1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,=(a2a1)(a3a1)(ana1),1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,1.3行列式的性质,(未写出的元素都是0).,例12.计算2n阶行列式,4.降阶递推法,第一章行列式和线性方程组的求解,1.3行列式的性质,D2n=,=a,+(1)2n+1b,解:,第一章行列式和线性方程组的求解,1.3行列式的性质,=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=(adbc)n1D2=(adbc)n.,D2n,D2n,=a(1)2(2n1)d,D2(n1),b,(1)(2n1)+1c,D2(n1),Dn=(a+b)Dn1abDn2,解：按第一行展开,Dn=(a+b),Dn-1,+ab(1)1+2,Dn-2,=bn2(D2aD1),例13.Dn=,双轮形,DnaDn1=b(Dn1aDn2),=an2(D2bD1),DnbDn1=a(Dn1bDn2),D1=a+b,D2=a2+b2+ab,4.降阶递推法,1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,DnaDn1=bn2(D2aD1)(3),DnbDn1=an2(D2bD1)(4),由(3)b(4)a可得，,D1=a+b,D2=a2+b2+ab,=bn,=an,1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,5.分解行列法,解：将第一列拆成两列的和,Dn=b,Dn-1,+Dn,例13.Dn=,Dn,=an,Dn=bDn-1+an,=b(bDn-2+an-1)+an,1.3行列式的性质及计算,第一章行列式和线性方程组的求解,=b2Dn-2+an-1b+an,=,二.行列式的主要计算方法,1.3行列式的性质及计算,1.化为三角形行列式,3.行列式按行(列)展开,2.箭形行列式的计算,4.降阶递推法,Ajk=(1)j+kMjk,计算三四阶行列式,5.分解行列法,|AT|=|A|.,Ex.,则当D=a11a22a12a210时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,推广到n元线性方程组Cramer法则,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,列向量,矩阵,行向量,例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.,一.矩阵与向量,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量,则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路.从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，路长为7;下面一条路长为8.,例3：某二人有一只8升的酒壶装满了酒,还有两只空壶,分别为5升和3升.问如何尽快将酒平分?,一.矩阵与向量,1.mn矩阵(Matrix),元素:aij(i=1,m,j=1,n),注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵(Rmn).复矩阵(Cmn).,Amn=,=(aij)mn,n阶方阵:nn矩阵,2.方阵,主对角线元素:aii(i=1,n),1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,3.向量(Vector),n维行向量:1n矩阵ai=(ai1,ai2,ain),n维列向量:n1矩阵Aj=,常用希腊字母,表示.,5.同型矩阵A=(aij)mn与B=(bij)mn,6.相等矩阵A=B,aij=bij,1im,1jn,同型矩阵,4.11矩阵(a11)=a11,7.零矩阵Omnaij=0，1im,1jn,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,1.对角矩阵(diagonal),=diag(1,2,n)=,10002000n,2.数量矩阵,3.单位矩阵,引入Kronecker记号,=(ij),=(ij),=(iij),几种特殊方阵,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,4.三角矩阵,上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0,下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,1.4线性方程组的求解,二.克拉默法则(CramerRule),四.矩阵的初等行变换,1.矩阵的初等行变换,2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵,3.阶梯阵的形状与线性方程组的解,五.齐次线性方程组有非零解的充分条件,三.Gauss消元法与方程组的初等变换,第一章行列式和线性方程组的求解,一.矩阵与向量,1.4线性方程组的求解,二.克拉默法则(CramerRule1750瑞士),在D=|A|0有唯一解,第一章行列式和线性方程组的求解,n元线性方程组,|A|0,方程数与变量数不等时不能用,1.4线性方程组的求解,一.克拉默法则(CramerRule),在D=|A|0有唯一解,第一章行列式和线性方程组的求解,按第一列展开,=a11A11,=b1A11,+an1An1,+bnAn1,Dj=b1A1j+bnAnj,j=1,2,n,1.4线性方程组的求解,一.克拉默法则(CramerRule),在D=|A|0有唯一解,第一章行列式和线性方程组的求解,Dj=b1A1j+bnAnj,j=1,2,n,(1)先证是方程组的解.,1.4线性方程组的求解,一.克拉默法则(CramerRule),在D=|A|0有唯一解,第一章行列式和线性方程组的求解,Dj=b1A1j+bnAnj,j=1,2,n,(2)再证方程组解的唯一性.,A1j,+,A2j,+,+,Anj,=Dj,1.4线性方程组的求解,一.克拉默法则(CramerRule),在D=|A|0有唯一解,第一章行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组,推论1.4,齐次线性方程组Ax=0,它必然有一组零解x1=x2=xn=0,若有一组不全为零的数构成Ax=0的解,则称之为Ax=0的非零解.,推论1.4a.设ARnn,若齐次线性方程组Ax=0的系数行列式|A|0,则它只有零解.,推论1.4b.设ARnn,若Ax=0有非零解，则|A|=0,1.4线性方程组的求解,第一章行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组的非零解,定理1.3设ARnn,|A|0时Ax=b有唯一解xj=Dj/|A|,j=1,n.,(A)填空题选择题：作为课下练习,一.(A)1(1-7),(B)1,2,3,(B)留作业,每周三交作业,(C)课下提高题：有时间的话尽量做,二.(A)2(1-5)(B)4(1,3,4,6),5(1,2),三.(A)1(8),2(6,7)(B)5(4,6,7,8),6(2),7,四.(A)1(9,10),2(8,9,10)(B)9,11,12,趣味思考题一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少呢？,现代谜题（据说是微软的面试题哦！）有4个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。她们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥，且必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个女人过桥的速度不同(甲乙丙丁分别需要1,2,5,10分钟)，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有其他方