2014一轮复习课件第7章第5节直线、平面垂直的判定及其性质

一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直,任意,2直线与平面垂直的判定与性质,两条相交,直线,平行,a、b,abO,lb,la,a,b,它在平面内的射影,1两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线的位置关系怎样？提示：平行、相交、异面三种情况都有可能,二、平面与平面垂直1二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围：0，,两个半平面,垂直于棱,2平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直,直二面角,3平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,l,l,l,a,la,2垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定，可能平行也可能相交,1设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.答案：A,2将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(),A相交且垂直B相交但不垂直C异面且垂直D异面但不垂直解析：由题意知ADBD，ADDC，又BDDCD，故AD平面BCD.又BC平面BCD，所以ADBC.又AD与BC异面，故选C.答案：C,3在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与平面DD1B1B所成角的大小是()A15B30C45D60,4设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用代号表示)解析：将作为条件，构造长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直，这两个对面互相垂直，故；对于，可仿照前面的例子进行证明答案：(或),5(理)设P是60的二面角l内一点，PA，PB，A、B分别为垂足，PA2，PB4，则AB的长是_解析：如图所示，PA与PB确定平面，设平面与l交于点E，则BEl，AEl，BEA即为二面角的平面角，,5(文)在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中所有正确论断的序号为_解析：取AC中点O，连接PO，BO，则ACPO，ACBO，又POBOO，所以AC平面POB，故ACPB.由ACDE知AC平面PDE.显然不成立答案：,【考向探寻】1直线与平面垂直的判定2直线与平面垂直的性质3直线与平面垂直的判定与性质的综合应用,【典例剖析】(1)如图甲，在ABC中，ABC90，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是_,(1)利用线面垂直的判定、性质寻求图中的垂直关系(2)证明PHAD，PHAB即可由知PH为四棱锥的高，证四边形ABCD为直角梯形，根据公式求体积即可取PA中点M，证DM平面PAB及EFDM即可,(1)解析：PA平面ABC，AB，AC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC.又CBAB，PAABA，CB平面PAB.CBPB.PAB，PAC，PBC，ABC均为直角三角形答案：4,(2)证明：因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.,解：,因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.,(1)证明直线和平面垂直的常用方法有(2)当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任意一条直线，常用来证明线线垂直,【活学活用】1.(理)如右图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.,(2)如图所示，连接PM，CM，PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM，而PAMCBM90，PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.,1.(文)如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形，求证：(1)MD平面APC；(2)BC平面APC.,证明：(1)M为AB中点，D为PB中点，MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，MD平面APC.(2)PMB为正三角形，D为PB的中点，MDPB.又由(1)知MDAP，APPB，又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC.又ACBC，ACAPA，BC平面APC.,【考向探寻】1平面与平面垂直的判定2平面与平面垂直的性质3平面与平面垂直的判定与性质的综合应用,【典例剖析】(1)(2012浙江高考)设l是直线，是两个不同的平面A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l,(2)(2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点,求证：平面ADE平面BCC1B1；直线A1F平面ADE.,(1)解析：设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误答案：B,(2)证明：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因为AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.,因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.,(1)证明平面和平面垂直的方法利用定义证明只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可利用线面垂直的判定定理此种方法要注意平面内的两条直线必须相交(2)面面垂直的性质应用技巧：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”,两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面,【活学活用】2.如图所示，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上(1)求证：BCA1D；(2)求证：平面A1BC平面A1BD.,证明：(1)A1在平面BCD上的射影O在CD上，A1O平面BCD，又BC平面BCD，BCA1O.又BCCO，A1OCOO，BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，BCA1D.,(2)ABCD为矩形，A1DA1B，由(1)知A1DBC，A1BBCB，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD.,(理)【考向探寻】1与平行、垂直有关的综合问题2与垂直、平行有关的折叠、探索性问题3求二面角的大小,【典例剖析】,(1)求证：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值,解答此题可按以下思路进行：(1)先证CBDD1，BCAD，进而证得BC平面AD1A1D，从而可得结论(2)延长A1D1到G，使GD1AD，可求得AG及A1G，再利用勾股定理求解(3)作出二面角的平面角，用通过解三角形求解,(1)证明：如图，取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D，AD1.由条件可知，BCAD，B1C1A1D1.,由上可得AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，由此得ADA1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A1D.又因为DD1BB1，BB1BC，所以DD1BC.又ADBC，ADDD1D，所以BC平面AD1A1D，又AA1平面AD1A1D.故BCAA1.,(2)解：延长A1D1到G点，使GD1AD.连接AG，则ADGD1.所以四边形AGD1D为平行四边形所以AGDD1，又DD1BB1，所以AGBB1.由于BB1平面A1B1C1，所以AG平面A1B1C1，又A1G平面A1B1C1，所以AGA1G.由条件可知，A1GA1D1D1G3，AG4，所以AA15.,【活学活用】3三棱锥PABC中，PC、AC、BC两两垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点(1)求证：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值,(1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EFBC，GFCP.因为EF，GF平面PCB.所以EF平面PCB，GF平面PCB.又EFGFF，所以平面GFE平面PCB.,(文)【考向探寻】1与垂直、平行有关的综合问题2与平行、垂直有关的折叠、探索性问题3求直线与平面所成角的大小,【典例剖析】,解答此题可按以下思路进行(1)先证C1B1平面A1D1DA，再利用线面平行的性质证EFA1D1.证明BA1B1C1，BA1B1F即可(2)作出直线与平面所成的角，通过解三角形求解,因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.,(1)求线面角的方法根据线面角的定义作出直线与平面所成的角，然后通过解三角形的方法求出该角，其具体步骤是“作证求”(2)解决垂直的综合问题时要注意三种垂直相互转化，具体为,【活学活用】3.AB为圆O的直径，点E，F在圆上，ABEF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB2，EF1.(1)求证：BF平面DAF；(2)求BF与平面ABCD所成的角；(3)若AC与BD相交于点M，求证：ME平面DAF.,(1)证明：AB为圆O的直径，BFAF.又平面ABCD圆O面，且平面ABCD圆O面AB，DAAB.DA圆面O，BF圆面O，DABF，DAAFA，所以BF平面ADF.,(1)EF平面ABC.证明：因为AB平面BCD，CD平面BCD.所以ABCD.又BCD中，BCD90，所以BCCD，因为ABBCB，所以CD平面ABC，2分,(1)证明：取AD的中点G，连PG，BG，BD.PAD为等边三角形，PGAD，2分又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD.,在ABD中，DAB60，ADAB，ABD为等边三角形，BGAD，5分又PGBGG.AD平面PBG，PB平面PBG，ADP