正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6正弦定理和余弦定理,上海大学附属中学顾晨曦,上海教育出版社高一第二学期数学,情境引入,能否把这个实际问题抽象为数学问题？,右图为西安半坡遗址博物馆中彩陶残片，上面有多种几何图形，反映了公元前6000年人类对于数学知识的探索.如果其中一块三角形残片的示意如图1，为了复原残片，应该怎么做？,已知AC=，A=，C=，求B，边a、c,回忆一下直角三角形的边角关系?,c,b,a,两等式间有联系吗？,探究1：,思考：若边b=AC=7.5，A=40，C=88，如何求B,边a？,(1)当是锐角三角形时,D,如图:作AB上的高CD,得到,E,同理，作BEAC，有,回忆一下直角三角形的边角关系?,A,B,C,c,b,a,两等式间有联系吗？,探究1：,(2)若AC=7.5cm，A=40，C=108，即当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?,正弦定理LawofSines,三角形中，各边与它对角的正弦的比相等,结论1：,注意：正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广,语言表述：,符号表达：,剖析定理、加深理解,用途：,已知两角和一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角,是否正确？,正弦定理,例题讲解,例1、在ABC中，已知b=7.5,A=40,C=88求B，边c、边a.(精确到0.01),解：B=180-A-C=52,探究2,你还有其他证明正弦定理的方法吗？,等积法,等积法：两边同除以即得：,探究2,D,结论2：,三角形面积公式:,三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半,语言表述：,符号表达：,关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（Abul-Wefa，940998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（Nasiral-Dinal-Tusi,12011274）给出的。我国清代数学家梅文鼎（16331721）在他的著作平三角举要中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式。,阿布瓦法,纳绥尔丁-图西,梅文鼎,正弦定理的历史：,若有如图所示的残片，在ABC中，已知BAC及AB=c，AC=b，如何计算边a（即BC）？,探究3,c,b,a,A,B,C,b,a,c,D,bcosA,bsinA,c-bcosA,余弦定理（几何法）,A,B,C,H,证明：ACB是钝角时，已知边b、a，求边c如图，作BHAC于点H，在RtBCH中，,在RtABH中，,代入化简，可得,b,a,c=?,-acosC,asinC,b-acosC,三角形一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。,勾股定理,令C900,勾股定理与余弦定理有何关系？,结论3：余弦定理lawofcosines,语言表述：,符号表达：,探究4：余弦定理还有其它证明方法吗？,在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为C，求边c.,(0，0),(a,0),(bcosC,bsinC),坐标法,同理：,它还有别的用途吗，若已知a,b,c,可以求什么？,用途：已知两边和它们的夹角求第三边,余弦定理：,已知三边，求三个角,推论：,剖析定理、加深理解,例题讲解,例2、在ABC中，已知a=5,b=4,C=110,求边c.（精确到0.01）,小结:,余弦定理：,推论:,数学思想：从特殊到一般、数形结合、分类讨论等,正弦定理：,面积公式：,1、练习