电磁场与电磁波基础(第1章)

电磁场与电磁波,刘守军,教材：电磁场与电磁波基础（第2版）刘岚黄秋元程莉胡耀祖编著电子工业出版社2010,参考书：,1.电磁场与电磁波理论基础学习指导与习题解答刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编.武汉理工大学出版社，20092.电磁场与电磁波谢处方，饶克谨编.高等教育出版社，20023.电磁场与电磁波典型题解析及自测试题赵家升主编,西北工业大学出版社,20024.电磁波理论(影印版,英文),J.A.Kong编高等教育出版社，2002,第1章矢量分析与场论,重点：,1.标量、矢量，标量场、矢量场,3.通量与散度,2.矢量的运算，坐标系,4.环量与旋度,5.方向导数与梯度,7.斯托克斯定理,6.高斯散度定理,8.亥姆霍兹定理,序：场与矢量,我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的感觉说明空间分布着一个温度场等等。,场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理量来描述。,当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的基本概念。,1.1矢量的表示和运算,1.标量,只有大小，不包含方向的物理量叫做标量(Scalar)。如：温度、电位、能量、长度、时间等。,既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量(Vector)。如：力、速度、加速度等。,2.矢量,根据国家有关符号使用标准，印刷时使用黑斜体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为。,矢量的大小,称为矢量的模,矢量的方向,称为单位矢量,矢量的表示,3.矢量的表示,在三维空间中,在一维坐标系中矢量表示为,矢量的模,表示矢量的方向,矢量用坐标分量表示,4.矢量的代数运算,矢量的加法和减法（平行四边形法则）,5.标量与矢量相乘,设,两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的,6.矢量的标积（ScalarProduct）,则,数量值!,为矢量与矢量之间的夹角,物理意义,设,两矢量进行矢积后的结果仍为矢量,7.矢量的矢积（VectorProduct）,则,为矢量与矢量之间的夹角,上式可记为,注,物理意义,矢积的几何意义,以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的方向。,常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直观地表现标量场的空间分布情况。常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况。,8.标量场与矢量场,场线（力线）,场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其果，就是空间某种分布形式的场。,分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场的环境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含了体现场、场源和场的环境的相关因素。,在直角坐标系中，空间任意一点M的位置可以用三个相互独立的变量,表示,记为(x,y,z).它们的变化范围分别是：。,1.2正交坐标系(QuadratureCoordinatesystem）,考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。,1.直角坐标系(笛卡儿坐标系),任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即,在直角坐标系中，空间任一点M的位置可用一矢量来表示，即,在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为,在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为,在直角坐标系下，任意体积元可表示为,在圆柱坐标系中，空间任一点可用r,z三个坐标变量来表示，点的位置在圆柱坐标系下可写为（r,z）。三个变量r,z的变化范围分别是：0r02,2.圆柱坐标系,圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是,它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即,空间任一点的位置可用单位矢量表示为,圆柱坐标系变量与直角坐标系的关系是,rcosrsin,在圆柱坐标系下，任意矢量的线元可表示为,在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为,在圆柱坐标系下，任意体积元可表示为,3.球坐标系,球坐标系中，三个坐标变量分别为：R,，这三个变量的变化范围是：0R002,球坐标,球坐标系的三个变量的单位矢量分别是,它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即,空间任一点的位置可用单位矢量表示为,在球坐标系下，任意矢量的线元可表示为,在球坐标系下，六个坐标点组成的六面体的面积元可表示为,在球坐标系下，任意体积元可表示为,在球坐标系中，单位矢量均不是常量,在圆柱坐标系中，单位矢量、不是常量,1.3矢量函数的通量与散度(FluxandDivergenceofVectorfunction）,1.矢量的通量,为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。,在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢量场的大小。,矢量线,借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量穿过曲面的矢量线总数，矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场也可称为通量面密度矢量。,通量的物理意义,矢量E沿有向曲面S的面积分,0(有正源),0(有负源),=0(无源),若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即,2、散度,计算公式,如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的散度（divergence），记作：div,称为哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即,式中,在圆柱坐标系下,在球坐标系下,在矢量场中，若A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处A=0，称之为无源场。,散度代表矢量场的通量源的分布特性,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数,散度的物理意义,该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，穿出闭合面S的通量,3、高斯公式(散度定理),高斯公式,1.4矢量函数的环量与旋度(CirculationandrotationofVectorfunction）,1.矢量的环量,通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度(rotation)，而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。,矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分,称为矢量A的环量,该环量表示绕线旋转趋势的大小。,环量的计算,水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动C0，有产生涡旋的源,例：流速场,流速场,环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。,过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,2.矢量的旋度,(1)环量密度,(2)旋度,它与环量密度的关系为,在直角坐标系下,在圆柱坐标系下,在球坐标系下,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；,点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,(3)旋度的物理意义,旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0,A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,在电磁场理论中，Gauss定理和Stockes定理是两个非常重要的定理。,矢量函数的线积分与面积分的互换,该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系,(4)斯托克斯(Stockes)定理,Stockes定理,1.5标量函数的方向导数与梯度(DirectivityderivativeandgradientofScalarfunction）,在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知，二者之间的差别就是，矢量有大小有方向，而标量有大小却无方向。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何给标量添加上方向因素呢？在标量场中，空间每一点都只能对应于一个数值，这个数值是用标量函数来描述的。在研究标量场时，我们常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。,1.标量函数的方向导数,（1）标量场-等值线(面),其方程为,等值线,标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且互不相交。,等值面的性质,（2）方向导数,方向导数表示函数(x,y,z)在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。,式中,称为方向余弦,(3)标量场的梯度,设一个标量函数(x,y,z),若函数在点P可微,则在点P沿任意方向的方向导数为:,则有:,式中分别是与x,y,z轴的夹角,设,当,即与方向一致时,为最大.,哈密顿算子,式中,则可定义梯度(gradient),标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.,梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;,梯度的物理意义,例1三维高度场的梯度,例2电位场的梯度,高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于0,解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,例1设一标量函数(x,y,z)=x2y2z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,而该点的梯度值为,显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。,1.6格林公式（Greenstheorem）,格林公式又称格林定理，是矢量分析中的重要公式。在电磁场理论中，在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到。,令,则,根据散度定理,第一格林公式,第二格林公式,将上式中的和互换,则,将其与第一格林公式相减，就得到,1.7亥姆霍兹定理(HelmholtzsTheorem),1.矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数。,散度和旋度的比较,2.散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。,3.散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定。而旋度则由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。,通过比较说明,散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系。因此，场的散度和旋度一旦给定，就意味着场的通量源和旋涡源就确定了。既然场