高职《经济应用数学》两个重要极限

两个重要极限,Twoimportantlimits,知识目标1、掌握两个重要极限的公式2、掌握两个重要极限在经济方面的应用,能力目标会利用两个重要极限求指定函数和经济贸易方面实际问题的极限,两个重要极限,(Twoimportantlimits),播放,案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),案例【圆的面积】,该极限问题从结构上看，应为,从数学运算的角度看，就是求极限,解,正n边形的面积为,（或）,从类型上看，应为,两个重要极限,(Twoimportantlimits),o,两个重要极限,=1,(Twoimportantlimits),求,解：,两个重要极限,(Twoimportantlimits),训练1:求下列函数的极限,=1,=1,=1,=0,两个重要极限,(Twoimportantlimits),归纳：,(2)当u=f(x)时，,两个重要极限,(Twoimportantlimits),例2求,解：,解,例3,两个重要极限,(Twoimportantlimits),(1)求,解,训练2,(2)求,解,两个重要极限,(Twoimportantlimits),解,(3),两个重要极限,(Twoimportantlimits),练习:,两个重要极限,(Twoimportantlimits),例4求,解：,两个重要极限,(Twoimportantlimits),例5,解,两个重要极限,(Twoimportantlimits),训练3,解：,解：,例6,两个重要极限,(Twoimportantlimits),解,如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为,引例解决：求半径为R的圆的面积,两个重要极限,(Twoimportantlimits),引例2【银行信贷问题】某企业从银行贷款20万美元，约定以连续复利方式计算利息，且年利率4%，若10年后一次性还本付息，试请你帮助该企业计算贷款到期时还款总额？,两个重要极限,(Twoimportantlimits),分析：现有一笔贷款A0=20万元（称本金），年利率r=4%，按连续复利计息方式，银行一年应结算n次（），则每次的利率为r/n,则一年后本金和为,10年后的本息和为,随着结算次数的无限增加，10年后本息和为,=？,两个重要极限,(Twoimportantlimits),2、,=e,两个重要极限,(Twoimportantlimits),从上表可以看出，当x无限增大时，函数变化的大致趋势。可以证明当x时，的极限确实存在，其值为e=2.71828182845，即和一样，e也是一个无理数，它们是数学中最重要的两个常数。1727年，欧拉（L.Euler,瑞士人，17071783，18世纪最伟大的数学家）首先用字母e表示了这个无理数。这个无理数精确到20位小数的值为e=2.71828182845904523536,两个重要极限,(Twoimportantlimits),训练4求下列函数的极限,=e,=e,=e,=e,两个重要极限,(Twoimportantlimits),归纳：,（1）极限类型为,（2）必须是的形式，且底数中的和指数中的是“倒数关系”；,（3）中间必须用“+”号连接,=e,两个重要极限,(Twoimportantlimits),例7求,解,例8求,解,两个重要极限,(Twoimportantlimits),训练5(1)求,解,解,两个重要极限,(Twoimportantlimits),【案例】人民医院1998年5月20日从美国进口一台彩色超声波诊断仪，贷款20万美元，以复利计算，年利率4%，2007年5月20日到期，一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额（按连续计息）,解,以年为单位复利基本计算公式为,若把一年均分为t期计息，,于是n年的本息和为,则连续复利的复利公式为,所以到期还款总额为,两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,(1)复利与贴现问题,第个计息期末的本利和为若每期结算次，则此时每期的利率可认为是，容易推得第期末的本利和为,两个重要极限,(Twoimportantlimits),(1)复利与贴现问题,若每期的计算次数(即每时每刻结算)时，则第期末的本利和为即,两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,(1)复利与贴现问题,【案例】现将100元现金投入银行，年利率为1.98%，试求10年末的本利和(不扣利息税),解：用离散型复利公式计算10年末的本利和为(元)用连续型复利公式计算10年末的本利和为(元),两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,(1)复利与贴现问题,【案例】设年投资收益率为9%，按连续复利计算，现投资多少元，10年末可达200万元？,解：已知，代入公式，得(万元),两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,(2)融资问题,【案例】某企业或投资50万元，该企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品价值的0.75的贷款，该企业将此贷款再进行投资，并将再投资作为抵押品又向银行贷款，仍得到相当于抵押品的0.75的贷款，企业又将此贷款再进行投资，这样贷款投资再贷款再投资，如此反复进行扩大再生产问该企业共计可获投资多少万元？,两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,(2)融资问题,解：万元，代入得(万元),两个重要极限,(Twoimportantlimits),(三)经济模型及应用,两个重要极限,(Twoimportantlimits),实例训练【股票筹资成本问题】：在股票市场上，经常涉及股票筹资成本问题，需要计算股利逐年增长的普通股的筹资成本。设某普通股第一年股利为D，且每年以固定比率G增长，普通股筹资额为P，筹资费用率为F，则普通股成本K可计算如下：,按前面所述的资金现值计算方法知,该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通股成本K贴现的现值和，即,试利用数学方法计算股票筹资成本K,解：,按等比数列的求和公式知,所以，当时,所以,两个重要极限,(Twoimportantlimits),例10,求极限,解,两个重要极限,(Twoimportantlimits),另解:,训练6求,两个重要极限,(Twoimportantlimits),等价无穷小替代,1、若极限，称(x）与(x)等价，记为:(x)(x),2、常见的几个等价无穷小,两个重要极限,(Twoimportantlimits),3、等价无穷小替