7_1重积分概念与性质

一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,三、重积分的性质,第一节,一、二重积分的定义及可积性,重积分的概念与性质,第七章,二、三重积分的概念,解法:类似定积分解决问题的思想:,引例:,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,求其体积.,“分割,近似求和,取极限”,1)分割-“大化小”,用任意曲线网分D为n个区域,以它们为底把曲顶柱体分为n个,2)近似-“常代变”,在每个,3)求和“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.,度为,设D的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“分割,近似,求和,取极限”,解决.,1)“分割”,用任意曲线网分D为n个小区域,相应把薄片也分为小区域.,2)“近似”,中任取一点,3)“求和”,4)“取极限”,则第k小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,近似，求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,一、二重积分的定义,定义:,将区域D任意分成n个小区域,任取一点,若存在一个常数I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域D上的有界函数,(1)如果在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,注:,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域D上除去有,二、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量M.,密度函数为,定义.设,存在,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,下列“乘,积和式”极限,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,注:,三、重积分的性质(以二重积分为例),(k为常数),为D的面积,则,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域D的边界为圆周,它与x轴交于点(1,0),而域D位,从而,于直线的上方,故在D上,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负但不好估计.,舍去此项,例3.估计下列积分之值,解:D的面积为,由于,积分性质5,即:1.96I2,内容小结,1.重积分的定义,2.重积分的性质,(与定积分性质相似),思考题,将二重积分、三重积分的定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,同：都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同：定积分：积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数；二重积分：积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2.