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第二节向量及其线性运算,一、向量及其几何表示,二、向量的坐标表示,三、向量的模与方向角,四、向量的线性运算,五、向量的分向量表示式,六、小结思考题,向量(vector)：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,一、向量及其几何表示,或,向径：,自由向量：,不考虑起点、终点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量，记为.,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,二、向量的坐标表示,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,由图分析可知,通常用来表示向量的方向.,表示向量的长度,向量的坐标表达式：,三、向量的模(modulus)与方向角,模长为1的向量，记为,向量的模（大小）：,单位向量(unitvector)：,或,非零向量的方向角(directionangle)：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角.,当时，,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地单位向量与方向余弦的关系为:,解,四、向量的线性运算,1.向量的加法,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,(commutativity),(associativity),注：向量的减法,平行四边形法则,三角形法则,向量加减法的坐标表达式,二、向量与数的乘法（数乘）,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,向量与数的乘法的坐标表达式,特殊地，一向量与其单位向量的关系为,两个向量的平行关系,定理,证明,充分性显然；,必要性,两式相减，得,解,由题意知：,五、向量的分向量表示式,表示向量在x、y、z轴上的投影.,解,所求向量有两个，一个与同向，一个反向,或,解,六、小结,向量的坐标,向量的模与方向角,（注意分向量与向量的坐标的区别）,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（三角形法则）,（注意数乘后的方向）,向量的分向量表示式,思考题,思考题1解答,对角线的长为,思考题,2.已知平行四边形ABCD的对角线,试用表示平行四边形四边上对应的向量.,思考
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