5 三重积分 柱 球坐标 ppt课件

第三节,二、三重积分的计算,机动目录上页下页返回结束,三重积分,2.利用柱坐标计算三重积分,3.利用球坐标计算三重积分,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动目录上页下页返回结束,M(r,z),z,r,N,x,y,z,(x,y,z),(r,z),柱面坐标,z=z,.,.,机动目录上页下页返回结束,z,动点M(r,z),柱面S,r=常数：,平面,z=常数：,M,r,S,z,柱面坐标的坐标面,机动目录上页下页返回结束,动点M(r,z),半平面P,柱面S,=常数:,r=常数：,平面,z=常数：,z,M,r,S,P,柱面坐标的坐标面,.,机动目录上页下页返回结束,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,柱面坐标下的体积元素,机动目录上页下页返回结束,柱面坐标下的体积元素,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,.,机动目录上页下页返回结束,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,dV=,.,柱面坐标下的体积元素,.,dV,机动目录上页下页返回结束,柱坐标计算适用范围:,1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,机动目录上页下页返回结束,仍然是“先一后二”化为三次积分。,二重积分用极坐标时方程和计算简单，,3)柱坐标:当积分域为标准的圆柱面时用柱面坐标化为累次积分的积分限都是常数。,1,.,Dxy:,z=0,用哪种坐标？,.,柱面坐标,Dxy,例1.计算,I=,1,机动目录上页下页返回结束,柱坐标下三重积分举例,例2,1,Dxy,.,Dxy:,z=1,锥面化为:,r=z,1,.,用哪种坐标？,柱面坐标,例3.,.,.,机动目录上页下页返回结束,其中为由,例4.计算三重积分,所围,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动目录上页下页返回结束,例5.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,机动目录上页下页返回结束,3.利用球坐标计算三重积分,机动目录上页下页返回结束,适用范围:,1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,M(r,),r,N,y,x,z,.,.,.,球面坐标,3.利用球坐标计算三重积分,机动目录上页下页返回结束,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),球面坐标的坐标面,机动目录上页下页返回结束,球面坐标的坐标面,C,r=常数:,=常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,.,机动目录上页下页返回结束,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+dr,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,球面坐标下的体积元素,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,机动目录上页下页返回结束,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,.,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r2,sindrdd,sindrdd,r2,rcos),dV,dV=,机动目录上页下页返回结束,r,R,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,例1.,机动目录上页下页返回结束,M,r,R,对:从0积分，,.,例1.,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,机动目录上页下页返回结束,R,对:从0积分，扫遍球体,.,例1.,得锥面,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,对:从0积分，,机动目录上页下页返回结束,R,.,I=V,当f=1,.,例1.,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,得锥面,对:从0积分，,对:从0积分，扫遍球体,机动目录上页下页返回结束,球系下确定积分限练习,1为全球体,2为空心球体,3为上半球体,4为右半球体,为球体的第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,.,例2.,机动目录上页下页返回结束,a,化为球系下的方程,r=2acos,.,M,.,r,例3.,机动目录上页下页返回结束,例4.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动目录上页下页返回结束,例5,例5,例6.求曲面,所围立体体积.,解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于xoz,机动目录上页下页返回结束,利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,机动目录上页下页返回结束,解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,*说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,机动目录上页下页返回结束,选择不同坐标系是要使：,1.将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成,机动目录上页下页返回结束,2.设,计算,提示:利用对称性,原式=,奇函数,机动目录上页下页返回结束,3.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,机动目录上页下页返回结束,作业,P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4),第四节目录上页下页返回结束,备用题1.计算,所围成.,其中由