Lesbesgue积分的定义及性质

第二节Lesbesgue积分的定义及性质,第五章积分理论,1.积分的定义,设是(Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义为在E上的Lebesgue积分,非负简单函数的积分,例：若E1,E2,En是0,1中的可测集，0,1中每一点至少属于上述集合中的k个(kn),则在E1,E2,En中必有一个点集的测度大于或等于k/n,非负可测函数的积分,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到,积分的性质,零集上的任何函数的积分为0,例设fn(x)为E上非负可测函数列，,1.Levi逐项积分定理,只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。,若fn(x)为E上非负可测函数列，,说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,Levi逐项积分定理的证明,引理1：设En是递增集列，是Rn上的非负可测简单函数，则,引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则,证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，,有定义，且从函数列的渐升性知道,下证大于等于号,Levi逐项积分定理的证明,证明：令c满足0c1，是Rn上的非负可测简单函数，且,则En是递增集列，,由引理1知,Levi逐项积分定理的证明,再由的积分定义知,于是从（应用引理2）,注：Levi定理的重要性在于对非负上升可测函数列，其极限运算与积分运算的次序可以交换。而任何非负可测函数可由上升的非负简单函数列来逼近，因此非负可测函数的积分性质可通过逼近方式从简单可测函数的积分性质来获得。,2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）,然后利用Levi逐项积分定理即可,对应于测度的可数可加性,若fn(x)为E上非负可测函数列，则,对比:积分的线性(有限个函数作和),4.Fatou引理,若fn(x)为E上非负可测函数列，则,一般可测函数的积分,积分的几何意义：,注：当有限时，称f(x)在E上L可积,（要求不同时为）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）,设f(x)为E上的可测函数，定义,积分的性质,1）零集上的任何函数的积分为0,（2）,积分的绝对连续性,说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。,若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有,即：当积分区域很小时，积分值也很小.,积分的绝对连续性的证明,证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积,故对任意，存在E上的简单函数(x)，,使在E上,由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|M,例设0,1上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，)，求f(x)在0,1上的Lebesgue积分值,解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是0,1上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知,5.Lebesgue控制收敛定理,证明：显然f(x)为E上可测函数（可测函数列的极限函数是可测函数）,设fn(x)为E上可测函数列，a.e.于E，且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)|F(x)a.e.于E，,且由|fn(x)|F(x)a.e.于E，知|f(x)|F(x)a.e.于E，所以fn(x)，f(x)都为E上可积函数,则f(x)在E上可积且,由|fn(x)|F(x)a.e.于E，知F(x)