湖南省衡阳市2016年高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 P=x|0 x ， m= ，则下列关系中正确的是（ ） A m P B mP C m P D mP 2如图在复平面内，复数 应的点分别是 A， B，则复数 的值是 （ ） A 1+2i B 2 2i C 1+2i D 1 2i 3某研究机构对学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 =bx+a 中的 b a 为（ ） A 执行如图所示的程序框图，如果输入 m=30， n=18， 则输出的 m 的值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A 0 B 6 C 12 D 18 5若将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0）个单位，所得图象关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 6若 a、 b 是两个正 数，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 a+b 的值等于（ ） A 3 B 4 C 5 D 20 7设命题 p： （ 0， +）， 3 +016，命题 q： a （ 0， +）， f（ x） =|x|x R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 8已知点（ 1， 2）和（ ， 0）在直线 l： y+1=0（ a 0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 0， ） （ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 9如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆 1千克，则共需油漆的总量（单位：千克）为（ ） 第 3 页（共 23 页） A 48+24 B 39+24 C 39+36 D 48+30 10函数 y=图象大致是（ ） A B CD 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 也是抛物线 p 0）的焦点， 一个交点为 P，若 x 轴，则双曲线 离心率为（ ） A +1 B 2 C 2 1 D +1 12已知函数 f（ x） =（ x x x 其中 g（ x） =e x，且函数 f（ x）的两个极值点为 ， （ ）设 = ， = ，则（ ） A g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） B g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） C g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） D g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + =_ 14已知数列 前 n 项和 ，则 _ 第 4 页（共 23 页） 15若在区间 5， 5内任取一个实数 a，则使直线 x+y+a=0 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=2 有公共点的概率为 _ 16已知非零向量序列： 满足如下条件： | |=2， = ，且 = （ n=2， 3， 4， ， n N*）， ，当 大时， n=_ 三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 +A） =2， （ 1）求 的值 （ 2）若 B= ， 面积为 9，求边长 a 的值 18某高中有高一新生 500 名，分成水平相同的 A， B 两类进行教学实验为对比教学效果，现用分层抽样的方法从 A、 B 两类学生中分别抽取了 40 人、 60 人进行测试 （ ）求该学校高一新生 A、 B 两类学生各多少人？ （ ）经过测试，得到以下三个数据图表： 图一： 75 分以上 A、 B 两类参加测试学生成绩的茎叶图（茎、叶分别是 十位和个位上的数字）（如图 1） 图二： 100 名测试学生成绩的频率分布直方图 2； 表一： 100 名测试学生成绩频率分布表； 组号 分组 频数 频率 1 55， 60） 5 60， 65） 20 65， 70） 4 70， 75） 35 75， 80） 6 80， 85） 合计 100 先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整； 该学校拟 定从参加考试的 79 分以上（含 79 分）的 B 类学生中随机抽取 2 人代表学校参加市比赛，求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率 19如图，已知 边长为 2 的正方形， 平面 ， 第 5 页（共 23 页） （ 1）证明： （ 2）求多面体 体积 20已知函数 f（ x） =x3+x 1（ b R） （ 1）设 g（ x） = ，若函数 g（ x）在（ 0， +）上没有零 点，求实数 b 的取值范围； （ 2）若对 x 1， 2，均 t 1， 2，使得 4 f（ x） 2x，求实数 b 的取值范围 21已知椭圆 的左、右焦点分别为 轴两个端点为 A、 B，且四边形 边长为 2 的正方形 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 C、 D 分别是椭圆长的左、右端点，动点 M 满足 接 椭圆于点P证明： 为定值 （ 3）在（ 2）的条件下，试问 x 轴上 是否存异于点 C 的定点 Q，使得以 直径的圆恒过直线 交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆周角 平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 延长线交于点 E， 点 F （ ）求证： （ ）若 D， E， C， F 四点共圆，且 = ，求 第 6 页（共 23 页） 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 = （ 1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程； （ 2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值， 并求出 P 点的坐标 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） = + （ 1）解不等式 f（ x） f（ 4）； （ 2）设函数 g（ x） =3k， k R，若不等式 f（ x） g（ x）恒成立，求实数 k 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2016 年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 P=x|0 x ， m= ，则下列关系中正确的是（ ） A m P B mP C m P D mP 【考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 判断 与 的关系即可 【解答】 解： 集合 P=x|0 x ， ， 故选 D 2如图在复平面内，复数 应的点分别是 A， B，则复数 的值是（ ） A 1+2i B 2 2i C 1+2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由图得到复数 入 后利用复数代数形式的除法运算化简求值 【解答】 解：由图可知， 2 i， z2=i， 则 = 故选： A 3某研究机构对学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 =bx+a 中的 b a 为（ ） A 考点】 线性回归方程 第 8 页（共 23 页） 【 分析】 求出样本中心（ ， ），代入回归方程解出 a 【解答】 解： = =9， = =4， a=4 9= 故选 C 4执行如图所示的程序框图，如果输入 m=30， n=18，则输出的 m 的值为（ ） A 0 B 6 C 12 D 18 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：如果输入 m=30， n=18， 第一次执行循环体后， r=12， m=18， n=12，不满足输出条件； 第二次执行循环体后， r=6， m=12， n=6，不满足输出条件； 第三次执行循环体后， r=0， m=6， n=0，满 足输出条件； 故输出的 m 值为 6， 故选： B 5若将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0）个单位，所得图象关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 9 页（共 23 页） 【分析】 把函数式 f（ x） =积为 f（ x） = 2x+ ），然后利用三角函数的图象平移得到 y= 2x+ 2）结合该函数为偶函数求得 的最小正值 【解答】 解： 由 f（ x） =2x+ ）， 把该函数的图象右移 个单位，所得图象对应的函数解析式为： y= （ x ）+ = 2x+ 2） 所得图象关于原点对称，则 2=k Z 当 k=0 时， 有最小正值是 故选： A 6若 a、 b 是两个正数，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 a+b 的值等于（ ） A 3 B 4 C 5 D 20 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 由 a， b 0，可得 a， 2， b 成等比数列，即有 ；讨论 a， b， 2 成等差数列或 b， a， 2 成等差数列，运用中项的性质，解方程可得 a， b，即可得到得到所求和 【解答】 解：由 a， b 0，可得 a， 2， b 成等比数列， 即有 ， 若 a， b， 2 成等差数列，可得 a 2=2b， 由 可得 a=4， b=1， a+b=5； 若 b， a， 2 成等差数列，可得 b 2=2a， 由 可得， b=4， a=1， a+b=5 综上可得 a+b=5 故选： C 7设命题 p： （ 0， +）， 3 +016，命题 q： a （ 0， +）， f（ x） =|x|x R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 【考点】 复 合命题的真假 【分析】 函数 y=3x 与函数 y=2016 x 的图象在第一象限有一个交点，即可判断出命题 p 的真假若 f（ x） =|x| x R）为偶函数，则 f（ x） =f（ x），解解得 a=0，即可判断出命题 q 的真假，进而得出答案 【解答】 解： 函数 y=3x 与函数 y=2016 x 的图象在第一象限有一个交点， （ 0，+）， 3 +016，因此命题 p 是真命题 若 f（ x） =|x| x R）为偶函数，则 f（ x） =f（ x），解得 a=0， 命题 q 是假命题 第 10 页（共 23 页） 因此只有 p （ q）是真命题 故选： C 8已知点（ 1， 2）和（ ， 0）在直线 l： y+1=0（ a 0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 0， ） （ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 由点（ 1， 2），（ ， 0）在直线 y+1=0 的同侧，得（ a 2+1）（ a+1） 0，解出即可 【解答】 解：点（ 1， 2），（ ， 0）在直线 y+1=0 的同侧， （ a 2+1）（ a+1） 0 解不等式可得， a 1 ， 故选： D 9如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆 1千克，则共需油漆的总量（单位：千克）为（ ） A 48+24 B 39+24 C 39+36 D 48+30 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是圆锥、下面是四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形的面积公式求出该几何体的表面积，即可求出共需油漆的总量 第 11 页（共 23 页） 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是圆锥、下面是四棱柱， 且圆锥的底面圆半径是 3、母线长是 5， 四棱柱的底面是以 3 为边长的正方形、高为 4， 该几何体的表面积 S= 3 5+ 32 32+4 3 4 =39+24（平方米）， 每平方米用漆 1 千克， 共需油漆的总量为（ 39+24）千克， 故选： B 10函数 y=图象大致是（ ） A B CD 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数的解析式可得函数 的定义域关于原点对称，根据 f（ x） =f（ x），可得函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、 D，再根据当 x （ 0， 1）时， 0，从而排除 C，从而得到答案 【解答】 解： 函数 y= x+0， x 0，故函数的定义域为 x|x 0 再根据 y=f（ x）的解析式可得 f（ x） =） =） =f（ x）， 故函数 f（ x）为偶函数，故函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、 D 当 x （ 0， 1）时， 0 x 1， 0 1， 函数 y= 0，故排除 C，只有 A 满足条件， 故选： A 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 也是抛物线 p 0）的焦点， 一个交点为 P，若 x 轴，则双曲线 离心率为（ ） A +1 B 2 C 2 1 D +1 【考点】 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 第 12 页（共 23 页） 【分析】 根据抛物线的方程算出其焦点为 F（ ， 0），得到 |p设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的右焦点为 F 算出双曲线的焦距 |=p， 利用勾股定理算出|= p，再由双曲线的定义算出 2a=（ 1） p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案 【解答】 解：抛物线 焦点为 F（ ， 0）， 由 x 轴垂直，令 x= ，可得 |p， 双曲线 =1 的实半轴为 a，半焦距 c，另一个焦点为 F， 由抛物线 焦点 F 与双曲线的右焦点重合， 即 c= ，可得双曲线的焦距 |=2c=p， 由于 直角三角形，则 |= = p， 根据双曲线的定义，得 2a=| | p p，可得 a=（ ） p 因此，该双曲线的离心率 e= = = 故选： A 12已知函数 f（ x） =（ x x x 其中 g（ x） =e x，且函数 f（ x）的两个极值点为 ， （ ）设 = ， = ，则（ ） A g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） B g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） C g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） D g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 结合一元二次函数的性质判断 ，判断函数 g（ x）的单调性进行判断即可 【解答】 解：由题意， f（ x） =（ x x +（ x x +（ x x f（ ） = 0， f（ ） = 0， f（ x）在（ ， ），（ ， +）上递增，（ ， ）上递减， ， g（ x） =e x 单调递增， g（ ） g（ ） g（ ） g（ ） 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 第 13 页（共 23 页） 13若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + = （ 3， 3） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 直接利用向量的坐标运算求解即可 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + =（ 3， 3） 故答案为：（ 3， 3） 14已知数列 前 n 项和 ，则 2n 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用公式 求解 【解答】 解： 数列 前 n 项 和 ， 1=1+1=2， n 2 时， n 1=（ n2+n） （ n 1） 2+（ n 1） =2n， n=1 时，上式成立， n 故答案为： 2n 15若在区间 5， 5内任取一个实数 a，则使直线 x+y+a=0 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=2 有公共点的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件 的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求 【解答】 解： 直线 x+y+a=0 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=2 有公共点， ，解得 1 a 3， 在区间 5， 5内任取一个实数 a，使直线 x+y+a=0 与圆（ x 1） 2+（ y+2） 2=2 有公共点的概率为 = 故答案为： 16已知非零向量序列： 满足如下条件： | |=2， = ，且 = （ n=2， 3， 4， ， n N*）， ，当 大时， n= 8 或 9 【考点】 数列的求和；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 由已知条件采用累加法求得 = +（ n 1） ，求出 的通项公 式，利用等差数列的性质进行求解即可 第 14 页（共 23 页） 【解答】 解： = ， 向量 为首项为 ，公差为 的等差数列， 则 = +（ n 1） ， 则 = +（ n 1） = 2+（ n 1） =4 （ n 1） = ， 由 = 0， 解得 n 9， 即当 n=9 时， =0， 则当 n=8 或 9 时， 大， 故答案为： 8 或 9 三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 +A） =2， （ 1）求 的值 （ 2）若 B= ， 面积为 9，求边长 a 的值 【考点】 正弦定理的应用；两角和与差的正切函数；正弦定理 【分析】 （ 1）利用两角和与差的 正切函数，求出 A 的正切函数值，然后求解表达式的值即可 （ 2）求出 A 的正弦函数值，利用正弦定理以及三角形的面积求解即可 【解答】 解：（ 1）由 +A） =2，即： =2，得 ， 所以 = = = . （ 2）由 ， A （ 0， ），得 ， 由 A+B） = ， 得 设 面积为 S，则 S= =9 又由及正弦定理 ， . 解得 a=3 第 15 页（共 23 页） 18某高中有高一新生 500 名，分成水平相同的 A， B 两类进行教学实验为对比教学效果，现用分层抽样的方法从 A、 B 两类学生中分别抽取了 40 人、 60 人进行测试 （ ）求该学校高一新生 A、 B 两类学生各多少人？ （ ）经过测试，得到以下三个数据图表： 图一： 75 分以上 A、 B 两类参加测试学生成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（ 如图 1） 图二： 100 名测试学生成绩的频率分布直方图 2； 表一： 100 名测试学生成绩频率分布表； 组号 分组 频数 频率 1 55， 60） 5 60， 65） 20 65， 70） 4 70， 75） 35 75， 80） 6 80， 85） 合计 100 先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整； 该学校拟定从参加考试的 79 分以 上（含 79 分）的 B 类学生中随机抽取 2 人代表学校参加市比赛，求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ ）由题知 A 类学生有 人则 B 类学生有 500 200=300 人 （ ）通过读频率分布直方图可轻易获取所要解答 【解答】 解析：（ ）由题知 A 类学生有 （人） 2 分 则 B 类学生有 500 200=300（人） 3 人 （ ） 表一： 组号 分组 频数 频率 1 55， 60） 5 60， 65） 20 65， 70） 25 70， 75） 35 75， 80） 10 80， 85） 5 16 页（共 23 页） 合计 100 6 分 图二： 9 分 79 分以上的 B 类学生共 4 人，记 80 分以上的三人分别是 1， 2， 3， 79 分的学生为 a 从中抽取 2 人，有： 12， 13， 1a， 23， 2a， 3a，共 6 种抽法； 10 分 抽出的 2 人均在 80 分以上有： 12， 13， 23，共 3 种抽法 11 分 则抽到 2 人均在 80 分以上的概率为 12 分 19如图，已知 边长为 2 的正方形， 平面 ， （ 1）证明： （ 2）求多面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）由地面 正方形，可得 平面 得 后利用线面垂直的判定得 平面 后可得 （ 2）把多面体 体积转化为 2 倍的棱锥 B 体积求解 【解答】 （ 1）证明： 正方形， 平面 面 面 C=A， 平面 又 面 （ 2）解： 边长为 2 的正方形， ， 第 17 页（共 23 页） 又 ， ， ， 20已知函数 f（ x） =x3+x 1（ b R） （ 1）设 g（ x） = ，若函数 g（ x）在（ 0， +）上没有零点，求实数 b 的取值范围； （ 2）若对 x 1， 2，均 t 1， 2，使得 4 f（ x） 2x，求实数 b 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出 g（ x）的最小值，根据最小值大于 0，求出 b 的范围即可； （ 2）问题转化为 x3+，设 h（ t） =t 1， 2，得到 h（ t） e，问题转化为 e x3+ 对 x 1， 2恒成立，根据函数的单调性求出 b 的范围即可 【解答】 解：（ 1） g（ x） =x+ +b 2 +b（ x 0）， ， g（ x）在（ 0， +）上没零点 ， ； （ 2） 4 f（ x） 2x x3+， 设 h（ t） =t 1， 2， h（ t） =e 0 对 t 1， 2恒成立， h（ t）在 t 1， 2上单调递增， h（ t） h（ 1） =e， e x3+ 对 x 1， 2恒成立， 对 x 1， 2恒成立， 设 ， x 1， 2， 第 18 页（共 23 页） m（ x） = 1+ 5 2e 0， m（ x）在 x 1， 2递减， m（ x） M（ 1） =e 4， b e 4，即 b e 4， +） 21已知椭 圆 的左、右焦点分别为 轴两个端点为 A、 B，且四边形 边长为 2 的正方形 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 C、 D 分别是椭圆长的左、右端点，动点 M 满足 接 椭圆于点P证明： 为定值 （ 3）在（ 2）的条件下，试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q，使得以 直径的圆恒过直线 交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）由题意知 a=2， b=c， ，由此可知椭圆方程为 （ 2）设 M（ 2， P（ ，直线 代入椭圆方程 ，得，然后利用根与系数的关系能够推导出 为定值 第 19 页（共 23 页） （ 3）设存在 Q（ m， 0）满足条件，则 P ，再由，由此可知存在 Q（ 0， 0）满足条件 【解答】 解：（ 1） a=2， b=c， a2=b2+ ； 椭圆方程为 （ 2） C（ 2， 0）， D（ 2， 0），设 M（ 2， P（ 直线 ，代入椭圆方程 ， 得 ， ， ， （定值） （ 3）设存在 Q（ m， 0）满足条件，则 由 ，从而得 m=0 存在 Q（ 0， 0）满足条件 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆周角 平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 延长线交于点 E， 点 F （ ）求证： （ ）若 D， E， C