2011高考数学一轮复习《学案与测评》 第4单元 导数及其应用课件

第四单元导数及其应用,知识体系,第一节导数的概念及运算,基础梳理,1.函数f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1-x0,y=f(x0+x)-f(x0),则当x0时,商叫做函数y=f(x)在区间x0,x0+x的平均变化率.,（2）几何意义函数f(x)在处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率，相应的，切线方程为,2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).,4.基本初等函数的导数公式,3.函数f(x)的导函数f(x)在开区间(a，b)可导,对(a，b)内每个值x,都对应一个确定的导数在区间(a，b)内构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的导函数,记为或y(或).,5.导数运算法则（1）f(x)g(x)=f(x)g(x);（2）f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);（3）,6.复合函数的导数复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,典例分析,题型一求函数的平均变化率【例1】求函数在到之间的平均变化率.,分析紧扣定义进行计算.,解,学后反思求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量；(2)计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单的套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.,解析：,分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,解,学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解析,题型三导数的物理意义及物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-.（1）求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1的瞬时速度.,分析第（1）问可利用公式；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,学后反思本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+t这段时间内的平均速度当t趋近于0时的极限，即s对t的导数.导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.,解（1）质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,举一反三3.以初速度作竖直上抛运动的物体，在t秒时的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.,解析：物体在时刻的瞬时速度为,题型四导数的几何意义及几何上的应用【例4】(12分)已知曲线.（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.,分析(1)在点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1）,.2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,.3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=04(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=6,切线方程为,即,.8点P（2，4）在切线上，,.9即,即,解得或,.10所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12,学后反思（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：在过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必以点P为切点.,(2)准确理解曲线的切线的概念，还要注意以下两个方面：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，如抛物线的对称轴与其仅有一个公共点，但对称轴不是抛物线的切线;反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，如曲线y=sinx与其切线y=1有无数个公共点.曲线未必在其切线的“同侧”，如直线y=0虽然“穿过”曲线,但它依然是曲线在点（0，0）处的切线.,举一反三,4.已知曲线C:y=-3+2x,直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(,)(0),求直线l的方程及切点的坐标.,解析：y=3-6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(,),解得.切点为（,）.把切点坐标代入y=kx得切线方程为y=x,即x+4y=0.,题型五复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导，也可直接用复合函数求导法则运算.,解（1）方法一：设，则,方法二：,（2）,学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导.其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）,即：先分解（复合关系）,再求导（导数相乘）.,举一反三,5.求下列函数的导数.,解析：,（2）,易错警示,【例】求曲线S:在点A(0,16)处的切线方程.,错解分析将点A代入曲线S易知点A不在曲线S上,故由导数的几何意义可知,f(0)不是曲线在过A的切线的斜率.,错解由于f(x)=，故f(0)=3,即曲线在A点处切线斜率为3,从而切线方程为3x-y+16=0.,正解设过点A的切线与曲线S切于点M（).f(x)=,由导数的几何意义可知切线的斜率为.又由两点连线的斜率公式知.联立、得,则，故切线方程为9x+y-16=0.,考点演练,解析:作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=-lnx相切，则切点到直线y=x-2的距离最小.由y=2x-=1,得x=1，或x=(舍去).切点为（1，1）,它到直线x-y-2=0的距离为d=,答案:,11.求下列函数的导数.(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);,解析,12.设t0，点P(t,0)是函数f(x)=+ax与g(x)=b+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.,将a=代入上式得b=t.因此c=ab=.综上所述，a=,b=t,c=.,解析：函数f(x)的图象过点P(t,0)，f(t)=0，即+at=0,又t0，故a=.同理，由g(t)=0得c=-b,即c=ab.又f(x)、g(x)在点P(t,0)处有相同的切线，f(t)=g(t),而f(x)=3+a,g(x)=2bx,3+a=2bt,第二节导数的应用（）,基础梳理,典例分析,题型一利用导数求函数的单调区间,分析通过解f(x)0,求单调递增区间.,【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的单调增区间.,解f(x)=-ax-1,f(x)=-a.令f(x)0,得a.当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xlna.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时，f(x)的单调增区间为lna,+).,学后反思求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f(x)；（3）令f(x)=0，求出全部驻点补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f()=0，则称点为函数f(x)的驻点；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.,解析,解析：f(x)=sinx-x,f(x)=cosx-.当f(x)0,即cosx-0时，解得0x,f(x)的单调递增区间为（0,）;当f(x)0,即cosx-0时，解得x0或f(x)0时，a，而-1,a-1；同理当cosx0知a3a.所以f(x)的增区间为(a,3a),减区间为(-,a),(3a,+).,题型四导数与不等式的证明【例4】（12分）(2008山东)设函数,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设，试证:f(x)g(x).,分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，列出关于a,b的方程组，然后解之.（2）作差：f(x)-g(x)，然后研究整体f(x)-g(x)的单调性，进一步证明结论成立即可.,解(1)f(x).1又x=-2和x=1为f(x)的极值点,f(-2)=f(1)=0,即,解得.3,(2)a=,b=-1,f(x)=x(x+2)(-1).令f(x)=0，解得.5当x(-,-2)(0,1)时，f(x)0，f(x)在(-2,0)和(1,+)上是单调递增的,在(-,-2)和(0,1)上是单调递减的.7,(3)由(1)可知,故f(x)-g(x)=.8令h(x)=-x,则h(x)=-1.令h(x)=0,得x=1.x(-,1时，h(x)0,h(x)在(-,1上是单调递减的,故当x(-,1时，h(x)h(1)=0.10x1,+)时，h(x)0,h(x)在x1,+)上是单调递增的,故当x1,+)时，h(x)h(1)=0.11对任意x(-,+)，恒有h(x)0,又0,因此f(x)-g(x)0,故对任意x(-,+)恒有f(x)g(x)12,学后反思采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)0.如果f(x)-g(x)0，说明函数f(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0，即f(x)g(x).利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式.这类试题在考查综合能力的同时充分体现了导数的工具性和导数应用的灵活性.,举一反三,4.已知函数f(x)=+lnx,求证:x1时，对任意的正整数n,总有f(x)x.,证明:x1,对任意正整数n，恒有1,故只需证明1+lnxx.令h(x)=1+lnx-x,x1,+),则h(x)=-1.当x1时，h(x)0,故h(x)在1,+)上递减，即h（x）h(1)=1+ln1-1=0,1+lnx-x0,即1+lnxx，f(x)1+lnxx.当x1时，对任意的正整数n，总有f(x)x.,易错警示,【例】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边长为x的正方形，如右图所示.再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t.问:x取何值时，容积V有最大值?,错解V=.V=4(3x-a)(x-a).因为，所以函数的定义域为这里，V在定义域内有唯一的极值点x=a3，由问题的实际意义可知，当时，Vmax=.,错解分析上述解法忽略了定义域的限制.,正解（1）当,即时，由V=0得，这时V在定义域内有唯一极值点.由问题的实际意义可知，当时，Vmax=.(2)当,即时，x，这时有V0，所以V在定义域内为增函数，故当时，Vmax=.,考点演练,10.（2010山东济南模拟）将长为52cm的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为21及32的矩形，那么面积之和的最小值为.,答案:78,解析:设剪成的两段中其中一段为x，另一段为52-x.由题意知，面积之和为S=S=令S=0,则x=27,另一段为52-27=25.此时Smin=78().,11.请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示）.试问:当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？,解析：设xm，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长(单位:m)为于是底面正六边形的面积（单位:）为S(x),12.(2008天津)已知f(x)=x+b（x0）,其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的a,2,不等式f(x)10在,1上恒成立，求b的取值范围.,帐篷的体积(单位:)为V(x)=V(x)=令V(x)=0，解得x=-2（舍去)或x=2.当10,V(x)