高中数学新课标人教a版必修二高三数学第一轮复习 直线的方程 课件

直线的方程(一),复习提问：,1、什么叫直线的倾斜角和斜率？,2、已知直线上两个不同的点(x1,y1)、 (x2,y2) (x1x2)，求此直线的斜率。,3、什么是直线方程?什么是方程的直线?,4、已知直线l的方程为y=x+2,点P（-1，1）在l上吗？Q（-2，2）呢？为什么？,5、对于直线l（如图），和b在l中分别表示什么？,0,b,l,6、方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？,7、直线l过点Q（-1，1），点P（x,y)且斜率为1，则x,y有何关系？,问：上述关系 （1）是过Q（-1，1）的直线方程吗？为什么？分析：直线l的方程首先是直线上任意一点所应满足的方程。也就是动点P（x,y)所要满足的等式。但由于，当x=-1时，式子没有意义，所以， 此式还不是直线l的方程。将上述方程整理得：y-1=1.(x+1)（2）(问：此方程是不是直线l的方程？）,直线的方程,验证：直线l上包括Q在内的每一点的坐标都是方程（2）的解，反之，以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上。所以方程（2）就是经过点Q（-1，1）且斜率为1的直线l的方程。请同学们完成下面问题：已知直线l经过点P（x1,y1),斜率为k ,求直线l的方程。总结：过点P(X1,Y1)，斜率为k的点斜式方程为Y-y1=k(x-x1)说明：（1）此方程叫直线方程的点斜式。（2）已知直线过一点及斜率可求直线方程（垂直于x轴的直线除外）。,此时直线的方程是,x=x1,直线的倾斜角为00时，,直线的倾斜角为900时，没有斜率,此时直线的方程是,例1 求分别满足下列条件的直线方程并画图：,（1）经过点（-2，-1），斜率为-3；（2）经过点（0，1），斜率为0；（3）经过点（-2，2），倾斜角为60；（4）经过点（-2，0），倾斜角为90；（5）经过点（-2，0），倾斜角为0。,练习:求满足下列条件的直线方程,(1)经过点A(0,-2),倾斜角为 (2)经过点B(0,3),斜率为2;(3)经过点C(0,b),斜率为k.总结:直线方程的斜截式:y=kx+b称b为直线l在y轴上的截距,这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫直线方程的斜截式.说明(1)已知直线斜率及在y轴上的截距,可用斜截式求直线方程.(2)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况.,练习:已知直线l的斜截式方程为 ,求直线l的斜率、倾斜角和直线在y轴上的截距。,点评：（1）斜截式与一次函数y=kx+b形式一样，但有区别。（2）由斜截式可知x的系数，即为直线斜率。（3）截距与距离不一样，截距可正、可零、可负,如：y=3x+1,y=3x,y=3x-1,而距离不能为负。（4）截距分横截距和纵截距。纵截距为直线与y轴交点的纵坐标（即令x=0);横截距为直线与x轴交点的横坐标（即令y=0）,小结：1) 直线方程的两种形式： 点斜式：y-y1=k (x-x1) 斜截式：y=kx+b2) 点斜式和斜截式都是在斜率存在时 方可用。,7.2 直线的方程(1),注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。,练习：P39-40T1、2,作业布置：P44T1、2、3、4、5,解：,由题意知直线l 与两坐标轴不垂直。,于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为,无解。,例 2：,例3、已知直线L经过点P(3,2)，并且与两坐 标轴的正半轴分别交于A、B两点， 若AOB面积为16，求L的方程；,变式题： 求使AOB面积最小时的直线 L的方程。,直线的方程,直线的方程,直线的方程(二),1、（1）直线方程的点斜式：,（2）直线方程的斜截式：,已知直线上一点P（x1，y1）与斜率k，直线方程为,已知直线斜率k与在y轴上的截距为b，直线方程为,y-y1=k（x-x1）,y=kx+b,复习回顾,直线的方程,直线L经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)并且x1x2，所以它的斜率 代入点斜式得：,当 时,方程可以写成,说明：,（1）这个方程是由直线上两点确定；叫两点式. （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；,直线L经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)两点，求直线L的方程？,分析：,二、直线方程的两点式和截距式,问题1,对直线的两点式方程公式的理解：,(2)直线的两点式方程中，要求x1x2，y1y2 倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示即这个方程不能表示平行于y轴，平行于x轴的直线当x1=x2时，直线平行于y轴，直线的方程为x=x1=x2，当y1=y2时，直线平行于x轴，直线的方程为y=y1=y2,(3)直线的两点式方程比较复杂，同学们要注意它的特征-（对称和美观，体现了数学美 ）做好记忆,(1)方程中的x，y代表直线l上动点的坐标，x1，y1，x2，y2代表两个已知点的坐标,(4)如果把两点式进行一下变形为,就可以表示为任意的直线了。,已知直线L与X 轴的交点为（a,0）与 y 轴的交点为（0,b），其中a0,b0，求直线L的方程?,解：,由两点式得:,即:,说明:,（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；叫直线方程的截距式.,（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；,问题2：,2它不能表示a，b不存在或为零的直线，即表示不了倾斜角及和过原点的直线。,3对于a、b来说，可能有一者不存在但不可能都不存在，可能都存在且 a=0 时b=0 同时成立。,1截距式： ，它是两点式的特殊形式，其中的两点为 和 。形式非常对称、美观，其中a是横截距，b是纵截距,4对于任意一条直线l的方程应设为 或 x=a 或 y=b 或 y=kx 。,理解：,1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程,（1）P（2，1），Q（0，-3）（2）A（0，5），B（5，0）（3）C（-4，-5），D（0，0）,答案,课堂练习,2.根据下列条件求直线方程,（1）在X轴上的截距为2，在Y轴上的截距是3；,（2）在X轴上的截距为-5，在Y轴上的截距是6；,答案,由截距式得： 整理得：,由截距式得： 整理得：,三、世间万物是相互联系的，我们已经学习了直线方程的 应当把它们勾通起来，相互进行转换,例2：已经直线l过A(1，3)B(2，1)两点，求直线l的的两点式方程，并把它转化为直线的斜截式、截距式和点斜式,解 l过A(1，3)B(2，1)两点，由两点式,点斜式、斜截式、两点式、截距式,由4xy7=0化为y=4x7即直线的斜截式由4xy7=0中，x=0 y=7，即b=7,直线的点斜式方程为: y-1=4(x-2),点斜式方程唯一吗？,三角形的顶点是A（-5，0），B（3，-3）C（0，2），求这个三角形三边所在的直线方程？,解：,. C（0，2）,. B(3,-3),（-5，0)A .,直线AB经过A，B两点，由两点式得,整理得3x+8y+15=0，这就是AB的直线方程,直线BC经过B，C两点，由两点式得,整理得5x+3y-6=0，这就是BC的直线方程,同理可得：AC的直线方程为2X-5y+10=0,例题,点评：直线AC，截距式较好； 直线BC，斜截式较好； 直线AB，两点式较好.,课堂小结：,直线方程四种形式的特点：,点斜式和斜截式表示直线时，斜率存在是关键，所以对于垂直于X轴的直线要另加说明。,两点式表示直线时，前提条件是这两点的横坐标不能相等，纵坐标也不相等，所以它不能表示平行于坐标轴的直线。,截距式表示直线时，直线在X轴，Y轴上的截距可正，可负，但绝不能为零，所以它不能表示任何平行于坐标轴和过原点的直线。,第一种：点斜式,第二种：斜截式,第三种：两点式,第四种：截距式,直线方程的几种形式:,y-y1=k(x-x1),（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的,（2）当直线L的倾斜角为0时，直线方程为y=y1,(3)当直线倾斜角90时，直线没有斜率，方程 式不能用点斜式表示，直线方程为x=x1,1.点斜式：,y=kx+b,说明：,（1）上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。,（2）纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。,2.斜截式：,说明：,（1）这个方程是由直线上两点确定； （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点 式来表示；,3.两点式：,说明:,（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；,（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；,4.截距式：,解：,例1. 三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。,例2 三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。,补充：1、求经过点（4，-3）且在两坐标轴上的截距 绝对值相等的直线方程。2、过点P（2，1）作直线l交x轴，y轴的正半 轴于 A，B，当 的值最小时直线l 的方程.,直线的方程(三),能否统一写成,7.2 直线的方程(3),第一种：点斜式,第二种：斜截式,第三种：两点式,第四种：截距式,一、复习回顾,直线方程的四种形式：,直线的方程 一般式,1、直线与二元一次方程的关系,在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程,二、新课讲解:,当,可以写成：,当,可以写成：,（一）,（二）,上两式都可看作关于x、y的二元一次方程，其中（二）式中y前的系数是0,2、证明：任何关于x、y的一次方程都表示一条直线。,（其中A、B不同时为0）,表示与y轴平行或重合的直线,一般式：,例1、已知直线经过点A（6，4）斜率为求直线 方程的点斜式和一般式方程,解：直接代入点斜式方程有：,点斜式方程：,评述：一般 前 的系数为正，系数及常数都不为分式，一般按 常数排列,三、范例讲解:,说明：,(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留,解：,思考,直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：,与两条坐标轴都相交；只与x 轴相交；只与 y 轴相交；是x 轴所在直线；是y 轴所在直线.,答：AB0,A0 ，B =0 ；,B0 ，A = 0 ；,B0 ，A = C= 0 ；,A0 ，B = C = 0 .,例2.已知直线的斜率为 ，且和坐标轴围成面积为3的 三角形，求该直线的方程？,由题意知所围成的三角形为直角三角形，而根据直角三角形的面积公式，直线方程应设为截距式较好，,解：,设直线方程为,直线的斜率,又S,解得 或,所求直线的方程为： 或,分析：,四、课堂练习:P43. 1,2,3,六、课外作业:P44. 11,12,知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式，及求斜率，截距等,五、课堂小结:,例2、把直线的方程化成斜截式，求出直线的斜率及它在轴与 轴上的截距,解：,由,有,故的斜率,纵截距为3,令则,即横截距为6,例3、设、是轴上的两点，点的横坐标为2，且 若直线的方程为 求直线的方程,解：,由得,故,又两直线的倾斜角互补,故,即,例4、直线方程为若直线不过第二象限，求的取值范围,解：由,得：,故直线过定点,则直线的斜率范围为,即,其倾斜角,直线的方程(四),目的要求:,1.复习掌握直线方程的四种特殊形式,并能运用这四种形式熟练地求出直线的方程.,2.会由直线的方程求出直线的斜率、倾角、截距等,并能根据方程画出方程表示的直线.,重点难点分析:,教学重点:直线方程的点斜式和斜截式方程及应用.,教学难点:几种形式的正确理解和熟练运用;以及恰当选取.,一.知识要点回顾:,特别地:当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为:x=x1.,2.斜截式方程可看作是点斜式的特殊情况,表示过(0,b)点,斜率为k的直线:y-b=k(x-0),即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等式的另一端是x的一次式,而不是x的一次函数;如:y=c是直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程.斜截式方程形式上的最大特点是“斜率k让人一目了然”.,4.直线的截距式是过点(a,0),(0,b),(a 0,b 0)两点的两点式,用截距式最便于作图,要注意截距式是坐标而不是长度,当斜率不存在或为0时,直线不能用截距式表示.,3. 直线的两点式方程的条件为:x1x2, y1y2.,1.直线方程的几种特殊形式都有其局限性,使用时要注意分类讨论的意识的培养;,二.直线方程形式的灵活选取技巧:,2. 一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式;,另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,则应选用截距式;,3. 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但要注意选择形式:一般地,已知一个点就待定k,