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文档简介

,13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质,一、一致收敛函数列的性质,二、一致收敛函数项级数的性质,1,定理13.8,即,证,因为,一、一致收敛函数列的性质,1.极限交换定理,2,特别,3,证毕。,4,立变量x与n的极限可以交换次序.,上一致收敛,且,存在,则有,5,特别，如果,即f(x)在x0也连续。即有：,定理13.9若,2.连续性,6,定理13.9的逆否命题：,若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则,如,在x=1不连续，,所以,7,定理13.9若,推论,8,定理13.10若,证,即极限号与积分号可交换。,由连续性，f(x)在a,b上也连续，,故fn,f均可积。,由,3.可积性,9,证毕。,注：定理中的连续条件改为可积，结论仍然成立.,10,注：定理13.9、13.10的条件只是充分的：,即定理13.9、13.10的条件不满足，但结论也可能成立。,11,(其图象如图136所示).,连续函数列,且对任意,例1设函数,12,收敛于0的充要条件是.,13,当且仅当,但定理10的结论成立。,不收敛于,定理10的结论不成立。,说明定理10的条件是充分但不必要的。,当且仅当,14,定理13.11（可微性）,设fn(x)为定义在a,b上的函数列，若,即极限号与求导符号可交换。,注：在本定理条件下，可推出,4.可微性,15,证,A,16,在本定理条件下，推出。,证：,17,由,即,证毕。,18,定理11的条件只是充分的：,例2,即定理11的条件不满足，但结论也可能成立。,19,定理13.12(连续性）,二、一致收敛函数项级数的性质,20,例3,(1),证明：,(2),解：,所以,从而，,21,例4.（内闭一致收敛）,证明：,22,定理13.13(逐项求积）,基本要求:,一致收敛+可积,可逐项积分,定理13.13的连续条件改为可积，结论仍然成立.,注：,23,例5,解:,24,定理13.14(逐项求导）,25,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,26,例6,解：,则由M判别法知，,27,例7设,故有,28,因此级数,续且可积.又由,29,30,例8.,证明：,所以不能直接用定理13.14.,
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