第2章解线性方程组的直接方法1_2

1,2.1直接法与三角形方程组求解,2.2Gauss消去法,第二章解线性方程组的直接法,2.3Gauss列主元消去法,2.4直接三角分解法,2.5平方根法,2.6追赶法(Thomas法),2,P64.2.3.4.(2)6.9.10.13.(1)14.16.(1),本章作业,3,第二章解线性方程组的直接法,2.1直接法与三角形方程组求解,实际问题中的线性方程组分类：,按系数矩阵中零元素的个数：,稠密线性方程组,稀疏线性方程组,按未知量的个数：,高阶线性方程组,低阶线性方程组,按系数矩阵的形状,对称正定方程组,三角形方程组,三对角方程组,零元素占80%以上,阶数在1000阶以上,4,一、直接法概述,本章介绍的直接法是将原方程组化为一个或两个三角形方程组求解，主要包括Gauss消去法和直接三角分解法。,性线方程组的解法可分二类:,1.直接解法:经有限步算术运算,可求出方程精确解的方法(假设计算过程中没有舍入误差).,2.迭代方法:用某种极限过程去逐步逼近性线方程组精确解的方法.,5,对于线性方程组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,-(1),6,根据Cramer(克莱姆)法则,若,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:,7,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法,则,都是三角形方程组,上述方法称为直接三角形分解法,-(2),8,不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法,最都归结为解三角形方程组,二、三角形线性方程组的解法,若记,下三角形线性方程组,上三角形线性方程组,9,即,10,其解为,11,其解为:,12,2.2Gauss消去法,一、消元与回代计算,对线性方程组,对其增广矩阵施行行初等变换:,13,定义行乘数,14,且,15,第k步:定义行乘数,16,17,18,二、Gauss消去法的运算量,计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算,且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当,故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数,乘法次数：,除法次数：,19,全部回代过程需作乘除法的总次数为,于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为,20,Gauss消去法乘除法约为2700次,而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为,用行列式定义,21,1)存储方式:将右端项b并入系数矩阵,形成增广矩阵A.,三、Gauss元消去法的算法设计,22,2)算法,1.输入增广矩阵A,控制精度EPS;2.消元过程:fork=1,2,n-1do2.1if,then输出Gauss消去法失败的信息,停止计算;2.2fori=k+1,k+2,ndo2.2.1计算乘数2.2.2forj=k+1,k+2,n+1do;,2)算法,23,24,Matlab程序:functionx,L,U=gauss(A,b,EPS)%列GUASS消去法,用增广矩阵处理ifnargin3EPS=50*eps;endn=length(b);P=eye(n);%P最终存放排列阵,对A作行交换时,对P也作同%样的行交换x=zeros(n,1);b=b(:);A=Ab;%构成增广矩阵,25,fork=1:n-1ifabs(A(k,k)=EPSerror(det(A)=0,方程无唯一解!);endfori=k+1:nA(i,k)=A(i,k)/A(k,k);A(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(i,k)*A(k,k+1:n+1);endend%这是消元过程式,%上述循环可改为:A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n+1)=A(k+1:n,k+1:n+1)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n+1);,26,ifabs(A(n,n)=EPSerror(det(A)=0,方程无唯一解!);endx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n