二用数学归纳法证明不等式

第二章推理与证明,2.3数学归纳法,问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题2:,完全归纳法,不完全归纳法,问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。,情景导学,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法,归纳法,概念解析,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律,缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的,概念辨析,思考1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？,（1）始祖姓王；,（2）子随父姓.,（第1代姓王）,（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）,问题探究,思考2？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）,第一块骨牌倒下；,任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,两个条件的作用：,条件：奠基；条件：递推关系,原理分析,概念解析,例题解析,总结升华,1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1B13C123D1234答案C解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,当堂检测,答案D,答案B,4：试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时2+4+6+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早,证明：当n=1时，左边,右边,假设n=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,反思：1、因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。2、第二步是个命题，前面是条件后面是结论。我们只需证明这个命题是正确的就行。3、当n=1时成立，假设当n=k时成立，那推出当n=k+2时也成立，请问这个命题对哪些自然数成立？如果推出当n=k+3时也成立，那请问这个命题对哪些自然数成立？,答：对正奇数成立。对自然数1、4、7、11、。成立。,1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要