5 线性参数的最小二乘法处理

第五章线性参数的最小二乘法处理,第一节最小二乘法原理,最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。,对某量进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为,测得值落入的概率,测得值同时出现的概率为,最可信赖值满足,权因子,虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。,测量方程组：估计量形式：误差方程组：,线性测量方程组的一般形式为,测量残差方程组,含有随机误差,矩阵形式,测量残差方程组,最小二乘法原理式,等精度测量,不等精度测量,为单位权方差，为的权，为的方差。化误差方程组为等权形式：最小,第二节正规方程,为了得到可靠的测量结果，测量次数n总是要多于未知数的数目t。因而直接用一般解代数方程的方法求解这些未知数是不可能的。最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程，而且方程个数正好等于未知数的个数，从而可求解这些未知数。,一、等精度测量线性参数的LSM处理的正规方程。,线性参数的误差方程式为：,记,正规方程为,用矩阵表示解上面方程组得可以证明最小二乘估计值是无偏估计。,测量方程为：x+2y=3x+10y=5x+20y=8x+30y=15x+40y=18,正规方程为：5x+102y=49102x+3004y=1386解该方程得到x=1.28y=0.418,二、不等精度测量线性参数的LSM处理的正规方程。,解上面方程组得,三、非线性参数的最小二乘法,测量残差方程组,非线性函数,取的初始似值,泰勒展开,按线性参数最小二乘法解得,迭代直至满足精度为止,为了获得函数的展开式，必须首先确定未知数的近似值，其方法可以是：1、直接测量对未知量直接进行测量，所得结果即可作为其近似值。2、通过部分方程式进行计算从误差方程中选择最简单的t个方程式，采用近似的求解方法。,四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系,最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例，即未知数只有一个时，最小二乘原理的结果就是算术平均值原理的结果。,第三节精度估计,一、测量数据的精度估计（一）等精度测量数据的精度估计对包含t个未知数的线性参数方程，进行n次独立的等精度测量。可以证明,取,V1=3-(1.281+0.4182)=0.884V2=5-(1.281+0.41810)=-0.46V3=8-(1.281+0.41820)=-1.64V4=15-(1.281+0.41830)=1.18V5=18-(1.281+0.41840)=0,（二）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差为,二、最小二乘估计量的精度估计,取决于测量数据的精度和线性方程给出的函数关系。正规方程,设不定乘数为；。为求x1，用分别乘正规方程中第1，2，t式。并将这些方程左右两边分别相加。得选择使x1前面系数为1，其余xi前面系数为0。,则,同理可得所以,正规方程：5x+102y=49102x+3004y=1386求待定系数d11d225d11+102d12=15d21+102d22=0102d11+3004d12=0102d21+3004d22=1得到d11=0.651d22=0.001,利用矩阵形式,矩阵,中各元素即为前面的不定乘数。不等精度测量的协方差矩阵为,由于矩阵（ATA）-1是：,为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试