探索平分图形面积的直线

探索平分图形面积的直线,商丘市第十三中学,李瑞玲,问题情境,如图所示，在一块矩形土地上，有一平行四边形水池，怎样修一条水渠把土地面积分成相等的两部分？,困惑与思维突破,困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？,思维突破：原有土地是矩形，水池是平行四边形，这是两个基本图形的组合图形.,要解决怎么平分组合图形的面积，我们先来研究基本图形平分面积的情况.,平分基本图形的面积,平分三角形的面积,A,B,C,三角形一边中线所在的直线平分三角形面积面积.,依据：等底等高（或同）的两个三角形面积相等.,平分平行四边形的面积,平分基本图形的面积,1、怎样平分矩形的面积？你有几种方法？,过对角线的交点任意一条直线平分矩形面积.,2、怎样平分平行四边形的面积？菱形呢？正方形呢？,平分平行四边形的面积,过对角线交点的任一直线平分它们的面积,平分正多边形和圆的面积,1、尝试平分正五边形和正六边形的面积,正奇边形的对称轴平分面积；过正偶边形中心的任一条直线平分面积.,2、尝试平分圆的面积,过圆心的任一条直线平分面积,小结,过中心对称图形的对称中心的任一条直线平分面积,轴对称图形的对称轴平分面积,平分梯形的面积,1、你能找到一条平分梯形面积的直线吗？平分面积你首先想到平分什么？,首先考虑平分对边.,两腰中点所在直线不能平分梯形面积；,两底中点所在直线平分梯形面积.,2、你还有其它的平分方法吗？问题1中的两条直线有什么特点？所成的两条线段有什么特点?借助中心对称图形你会受到什么启发？,问题解决,过梯形上下底中点所连线段和中位线的交点且与两底均相交的任意直线平分梯形面积.,依据：上下底中点所在直线平分梯形面积；构成“8”字型全等三角形.（自行证明）,平分组合图形的面积,1、问题情境的解决,连接AC和BD交于O1，连接EG和FH交于O2，作直线O1O2，沿O1O2修水渠可把土地平分.,O1,O2,思考：问题就这样轻易解决吗？你发现水渠的位置有什么特点？,问题情境二,请你在图中画一条直线把它分成面积相等的两部分.,问题解决,方法一（割法）：,如图，分割成上下两个长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,方法二（割法）：,问题解决,如图，分割成左右两个长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,问题解决,方法三（补法）：,如图，补成一个大长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,反思：探究到此结束吗？平分面积的直线还有吗？,问题情境三,如图，在五边形中，则可以将五边形分成面积相等的直线有条.,错误典例分析,很多老师和学生凭经验误以为条.,错误原因如下：,方法一：上下分成梯形和矩形.,作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.,方法二：左右分成梯形和矩形.,作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.,错误典例分析,就认为只有这两条直线.,正确方法分析,以方法一所作直线为基础进行分析.,、问题就在，而直线与、均相交.,、类比平分梯形面积，可构造“”字型全等三角形就可寻找到正确答案.,问题解决,直线分别交、于、两点，作的中点，过点作任意和、均相交的直线即可.,方法二同上,问题情境二反思,借助上述方法我们也可以作无数条直线平分面积,问题情境一反思