《一类轨迹问题的探究》教学设计.docx

一类轨迹问题的探究教学设计华中师大一附中 曹宗庆【教学内容解析】 本节课研究的是普通高中课程标准实验教科书 数学 选修21（人教A版）第二章圆锥曲线与方程中的内容，是一节轨迹问题的“探究展示课”。在这一章中，教材在第一节先给出了曲线的方程、方程的曲线这一概念。紧接着第二节又研究了如何求曲线方程，之后重点研究了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程、再通过方程研究它们的几何性质、最后利用几何性质画出曲线大致形状的这种数形结合的思想方法贯穿了圆锥曲线这一章内容的始终。而本节探究展示课就是用这种方法来研究有别于教科书上的三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的新的轨迹（与到两个定点的距离的某种运算结果为定值的动点的轨迹）问题。根据以上分析，本节课的教学重点确定为:类比课本中研究椭圆性质的方法研究新的曲线【学生学情诊断】 本节课的授课对象为华中师大一附中高三理科平行班学生，学生的基础很好，能力也很强，具有一定的自主探究与合作学习的能力。学生基本上掌握了研究圆锥曲线问题的基本方法。同时学生也学习了导数的有关内容（熟悉利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的值域的基本方法）。这些都是我们本节课探究新的轨迹问题的基础。但是学生还比较缺乏提出新问题的意识与利用已有的方法解决新的问题的能力。 教学难点：通过新的方程来研究新的曲线性质【教学目标设置】 普通高中数学课程标准中提到的高中数学课程的基本理念其中包括了“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，“注重提高学生的数学思维能力”，“体现数学的文化价值”，“注重信息技术与数学课程的整合”。 课标中对“圆锥曲线”这一内容的要求是了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的基本思想；掌握椭圆等其它圆锥曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 结合课标中提到的基本理念与课标中对圆锥曲线这一内容的基本要求，本节课的教学目标确定为：1. 通过学生课下自主探究、小组交流、展示成果、师生互动等一系列方式，学生亲身经历由曲线性质推导方程（由形到数），再由方程研究曲线性质（由数到形），最终画出曲线大致形状的过程，深入理解解析几何中研究圆锥曲线问题的基本方法。 2. 通过学生、师生之间的相互交流，学生感受到探索的乐趣与成功的喜悦。体会数学的理性与严谨，逐步养成批判、质疑的科学精神。通过对卡西尼卵形线、阿波罗尼斯圆等曲线的介绍体现数学文明的文化价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。3. 增强学生提出新问题的意识，提高学生用已有方法解决新问题的能力。通过几何画板卡西尼卵形线动画的展示，让学生感受曲线之美，鼓励学生进一步探究。 4. 学生能够在本节内容的探究中，通过对曲线方程的推导、曲线性质的研究逐步提升数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养。【教学策略分析】本节课作为轨迹问题的“探究展示课”，有其重要特点：其一，它不是新知课，因为本节课用到的研究轨迹问题的基本方法，学生早已接触。其二，它不是复习课，因为本节课重在探究新的轨迹，而不是复习已经学过的曲线。其三，它更不是习题课，因为本节课没有指定具体的题目，是在一个“开放情境下”的探究，与到两个定点的距离的某种运算结果为定值的动点的轨迹问题学生都可以探究。只是由于时间有限，我们建议学生从最基本的运算和最简单的定值开始探究。其四，某些曲线（如卡西尼卵形线）的方程的推导、利用方程研究曲线性质比较复杂，学生在短时间内通过自主探究的方式来完成，难度会比较大。其五，本节课立足于研究圆锥曲线问题的基本方法展开对新的轨迹的探究。结合以上特点，本节课采取“课前学生自主探究”（教师事先发放导学案）、“课上小组成员交流探究成果”、“各小组展示探究成果”、“师生共同解答疑惑”的方式来探究新的轨迹。导学案设计中，教师先引导学生回顾研究圆锥曲线问题的基本方法，然后从一个熟悉的求动点轨迹的例子出发，教师引导学生改变动点的几何特征、引导学生发散思维，鼓励学生大胆提出问题，将学生带入一个探究的情境中自主探究。课上学生展示探究成果，对于某些曲线（比如说卡西尼卵形线）的研究，学生在推导方程后，对性质的研究存在一定困难。所以需要教师适时地点拨引导。在这个过程中，学生对曲线的研究会出现很多问题，可能会生成一些研究圆锥曲线问题的新的方法与视角。教师要处理好“预设”与“生成”的关系。同时对于利用性质画出的曲线，我们借助几何画板来验证。由于时间有限，本节课不可能将到两个定点距离有关的点的所有轨迹都探究清楚，有些轨迹的研究要延伸到课外。【教学基本流程】创设情境，自主探究 小组讨论，交流成果 展示成果，师生释疑 画板展示，感受喜悦 教师讲解，文化熏陶 概括总结，拓展探究 【教学过程】 环节1 创设情境，自主探究 课前发放导学案，学生课前完成四个问题 问题1 在解析几何圆锥曲线与方程一章内容的学习中，我们研究过哪几个 方面的问题？ 学情预测：学生基本上可以回答出求方程、求曲线性质、研究直线与曲线的位 置关系，教师可归纳为两个方面的问题：由性质求方程；再由方程 研究性质。 设计意图：帮助学生回顾研究曲线问题的基本方法，为后面的研究做铺垫。 问题2 所对的边分别为，若， ，求顶点的轨迹。 学情预测：学生由定义可以回答出是一个椭圆，但有可能没有去掉左、右顶点。 教师可引导学生是否可以再严谨一些，思考一下是不是整个椭圆？ 设计意图：简单的例子的引入为后面进一步探究做准备，也可消除学生的畏难 情绪，有利于激发学生进一步探究的兴趣。 问题3 如果改变问题2中的运算关系和运算结果（结果仍为定值），重新 探究顶点的轨迹。你能设计一些新的探究方案吗？ 学情预测：学生会容易的说出很多运算和定值，包括加减乘除、平方和、平方 差、立方和、倒数和等等。 设计意图：主动引导学生将常见问题的条件进行改变，学生发散思维，各抒己 见。在这个过程中，增强了学生提出新问题的意识，探究味道浓厚。 问题4 在你设计的探究方案中，请选择一些最基本的四则运算和最简单的定 值再来探究一下顶点的轨迹。 学情预测：大部分学生对距离之差为定值，距离之比为定值的动点的轨迹的探 究不会出现太大困难。因为这两种曲线一个是由曲线的定义可以直 接得到，另一个推导出方程后也可以看出轨迹是圆或直线。但对距 离之积为定值的情况，学生的探究可能出现困难。 设计意图：（1）学生已经掌握了研究曲线问题的方法，所以这种探究学生可以 在课前自主进行。并且某些曲线的探究过程很复杂，课堂上短 时间内学生无法完成。 （2）这里教师引导学生从特殊情况、从最简单的方案入手，渗透了 科学研究的一般方法。同时由于课堂时间有限，这样也避免了 学生漫无边际的探究。 （3）学生积极思考、回顾用研究圆锥曲线问题的一般方法（性质推 导方程，方程研究性质）来探究新的曲线，学生解决问题的能 力以及核心素养都得到了体现和逐步发展。 环节2 小组讨论，交流成果 设计意图：小组交流后，每个小组把组员的探究成果收集到一起再派代表上台 展示，提高了课堂效率。 环节3 展示成果，师生释疑 学生：每组学生派代表展示自己小组的探究成果。其他小组成员提出自己不同 的意见和疑问。 教师：对于其他小组成员的质疑和疑问，教师引导学生解答疑问。在这个过程 中，教师要为学生逐层搭设台阶，比如说可以提示：研究椭圆时，我们 研究了椭圆的哪些性质?是如何研究这些性质的?我们用什么方法可以 求方程中的变量范围啊?怎么研究曲线的对称性啊?在必要的时候，教 师可以主动设置一些障碍，引发学生的思维冲突，让学生进一步研究曲 线形状。 学情预测：个别学生对距离之积为定值的动点的轨迹方程的推导会有困难。大 部分学生即使推导出了轨迹方程，但是对性质的研究不够全面就想 当然的画出曲线甚至有的学生没有研究性质直接找几个特殊点就 画出轨迹。 设计意图：（1）对展示探究成果的小组，给予表扬，可激发学生探究的兴趣, 感受成功的喜悦。 （2）推导出距离之积为定值的动点的轨迹方程，这个方程之前没有 见过，有的学生可能会不知道怎么来研究它，即使学生想到了 课本中研究椭圆性质时，研究了对称性、顶点、范围这几个性 质，对坐标范围的求解也会出现一定的困难。而且仅仅由这几 个性质，也不能把这个曲线的大致形状画清楚。原因是课本中 研究椭圆性质之前，学生已经知道了椭圆的大致形状。但是对 于这种新的曲线，学生一无所知。所以还要和函数图像建立联 系，就要使用导数这一工具来研究函数的单调性和凸凹性，和 教材相比，研究的性质多了，运用的数学知识、思想方法更广。 所以需要在教师的启发下共同研究。预设方案一），轨迹为双曲线的左支（除去顶点）预设方案二），轨迹不存在预设方案三） ，由得对称性：用换，方程不变，关于轴对称； 用换，方程不变，关于轴对称； 关于原点对称顶点：曲线与对称轴的交点，令得；令得范围：横坐标：得纵坐标：换元 令得得或时，求导易知单增；，单减 得，由对称性得预设方案四）由 得对称性：用换，方程不变，关于轴对称； 用换，方程不变，关于轴对称； 关于原点对称顶点：曲线与对称轴的交点，令得，令得范围：横坐标：由得纵坐标：换元 令得得 或时， 求导 时，函数单减 得 由于对称性 预设方案五），轨迹为线段的垂直平分线（除去原点） 预设方案六），由得为圆（除去与x轴的交点） 预设方案七） 推导方程为 预设方案八） 推导方程为 环节4 画板展示，感受喜悦 教师：几何画板展示刚刚研究的轨迹，主要是展示到两个定点的距离之积为定 值的动点轨迹。可以让学生观察定值取不同数值时轨迹的变化情况。 学情预测：震撼于曲线之美。 设计意图：根据方程研究出曲线的性质，师生共同画出曲线后，我们要借助几 何画板验证画出的轨迹是否正确。也让学生来体验这种曲线之美。 另外，由于课堂时间有限，鼓励学生课下继续用方程来研究定值不 同时的曲线形状。 环节5 教师讲解，文化熏陶 教师：介绍几种曲线的研究历史，带领学生欣赏曲线在高考中的应用。 设计意图： 曲线探究出来以后，进一步渗透有关的数学史、数学文化以及卡西 尼曲线在天文学中的应用。在这里教师介绍这两种曲线的研究历史， 让学生犹如身临其境一般，感觉自己就是卡西尼、阿波罗尼奥斯。 进一步激发学生的探索精神。 环节6 概括总结，拓展探究 教师：这节课我们研究了哪一类轨迹问题？ 教师：你能探究一下“到两条相交直线的距离的某种运算结果为定值的动点的 轨迹”吗？可以说下你的方法吗？ 学情预测：学生基本上可以回答出“先根据动点的几何特征建立方程，再由方 程研究曲线的性质，最后画出曲线”这一方法。 设计意图：（1）我们通过导引性的问题来启发学生总结这种研究圆锥曲线的方 法，设置相近