随机变量函数的分布

2.4随机变量函数的分布,在实际问题中，不仅要研究随机变量，而且还要研究随机变量的函数，例如在分子物理学中已知分子的速度V是一个随机变量，这时分子的动能就是一个随机变量函数.下面就研究如何根据随机变量的分布列（或联合分布列）或分布密度（联合密度）来求随机变量函数的分布列.,一、一维随机变量函数的分布,1一维离散型随机变量函数的分布设g(x)是定义在随机变量的一切可能取值A的集合上的函数，这样随机变量，当取值的集合上的函数，这样随机变量时，它的取值为y=g(a),称为随机变量的函数，记为=g().设为离散型随机变量，则=g()也为离散型随机变量。,若的分布列为，i=1，2，3，现求=f()的分布列。,若随机变量取不同的值时，随机变量函数=g()也取不同的值，=1，2，3，则的分布列.,例2.4.1设的分布列为求=2+1.,解：的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同，则的分布列为,2）若取不同的时，而函数的取值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到的分布列.不妨设的可能取值为，则，即为的分布列.,例2.4.2设的分布列为求=的分布列.,解：的可能取值为0，1，4，9它们有相同的.则将它的所对应的概率相加得的分布列为,2二维离散型随机变量函数的分布列,设()是一个二维离散型变量，是实变量x和y的单值函数，这时仍是一个一维的离散型随机变量.设可能取值为：令则有,例2.4.2设和是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和的Poisson分布，求的分布列.,解：由与的独立性可知此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性.通常称为该分布具有可加性.,类似地可以证明二项分布也是一个具有可加性的分布，即若，是两个独立的随机变量，且,则.,例2.4.4设与为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：求的分布列.,解：=,二、连续型随机变量函数的分布,求离散型随机变量函数的分布是很简单的事.一般地，连续型随机变量的函数不一定连续型随机变量.下面我们主要讨论连续型随机变量还是连续型随机变量的情形.,1.一维连续型随机变量函数的分布,设已知的分布函数或概率密度函数，则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得：先求的分布函数，其中.,而常常可用得分布函数来表达或用其概率密度函数的积分表达：再求的密度函数，通过对的分布函数求导，求出的密度函数.这种求随机变量函数分布的方法被称为分布函数法.,例2.4.5设随机变量的密度函数为，求的密度函数.,解:先求的分布函数，对的分布函数求导，得到的密度函数注意到0x4,即8y0时，是严格增函数，仍在上取值，其反函数为，由定理2.4.1可得这就是正态分布的密度函数.同理可求得，当a0时，有，这是正态分布的密度函数.,这个定理表明：正态变量的线性函数仍为正态变量，若取则服从标准正态分布，此即上一节定理2.3.1.,例2.4.6设随机变量服从正态分布N(0,4)，试求=-的分布.,解：有定理2.4.2可知仍是正态变量.它的分布为N(0,4).这表明与-有相同的分布，但这两个随机变量是不想等的，所以我们要明确，分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念.,定理2.4.3若的分布函数为严格单调增的连续函数，其反函数存在，则服从0,1上的均匀分布U0,1.,证明由于分布函数仅在区间0,1上取值，故当y0时，由是不可能事件，所以；故当时，有,当y1时，因为是必然事件，所以于是，的分布函数是这正是0,1上的均匀分布的分布函数，所以，服从0,1上的均匀分布U0,1.,注意，本例中的结论在计算机模拟中有重要的应用.,定理2.4.1在使用时比较方便，但要求的条件“g(x)严格单调，反函数连续可微”很强，有些场合下无法满足这个条件，例如就无法满足条件.对于无法满足定理2.4.1条件的情况，可以直接利用分布函数法.,例2.4.7设随机变量试求的密度函数.,解：先求的分布函数，由于，故当y0时，有，从而有当y0时，有因此，再用求导的方法求出密度函数为,例2.4.8设随机变量服从参数为的指数分布，求=min,2的分布函数.,解由已知，的分布函数为，=min