ch211函数的极值与最大最小值

,第十节函数的极值与最大、最小值,第二章一元函数微分学,本节要点,本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况.,一、函数的极值及其求法二、函数的最大值、最小值及其求法三、应用,定义设函数在点的某个邻域内有定义，如果对任意的有,或,一、函数的极值及其求法,注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最大（小）值，或称为相对最大（小）值。,在本章的第五节中，费马定理指出:如果函数可导，并且点是它的极值点，那么点是它的驻点，即，但是函数的驻点未必是它的极值点.例如函数但不是函数的极值点.,如果函数在处不可导，则也有可能是它的极值点，例如在处不可导，但是极小值点。,可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然.,函数的驻点和不可导点称为可疑极值点。,定理1（判断法一，第一充分条件）设函数在点处连续，在处的某个去心邻域内可导；,若在的两侧，的是异号的，则是极值，即,(3)若时，的符号不变，则不是的极值点.,情形1,情形2,情形3,根据上面的定理，若函数在定义域内连续，且至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤求出函数的极值:,求出导函数进而求出的全部驻点和不可导点；,根据导数在每个驻点和不可导点的左、右邻近是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点，进一步确定确定是极大值还是极小值.,在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值.,函数在处取极小值，极小值为,例1求函数的极值.,解,所以函数在处取极大值，极大值为,例2求函数的极值。,解在上节中，我们知道函数在中连续，在中可导，且,可见是函数的极大值；是函数的极小值.,例3求函数的极值.,解,函数在处取极小值，极小值为,若，则在点处取极大值；,定理2（判断法二，第二充分条件）设函数在点处二阶可导，且.,若，则在点处取极小值.,仅证(1),由极限保号性，在的一个去心邻域内，,即,由定理1知，在处取得极大值。,所以是极小值点；,例函数，,将驻点，代入计算，得,有驻点，不可导点.,对于只能用定理1判别,经判别知是极大值点.,二、最大值与最小值问题,在上一目中我们讨论了函数的极值及求法，在这一目中我们讨论函数在区间内的最大值和最小值及相应的求法.由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，我们知道若函数在闭区间上连续,则函数一定可以取到最大值和最小值,但并没有给出具体的方法.这里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法.,在应用问题中,如果归结为求在区间上的最大值或最小值,则通常称,为目标函数,称为约束集.,设函数在区间上连续,至多除个别点外处处可导,（1）求在内得驻点及不可导点；（不需要讨论它们是否为极值点）,（2）求出驻点、不可导点以及端点处的函数值；,（3）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。,求函数在区间上的最大值和最小值.,情形1,例4求函数在区间上的最大值和最小值。,解显然函数在所给区间上连续，可导。又,所以即函数在区间有唯一的驻点。且比较：,故是最小值，是最大值。,情形2设函数在区间(开或闭,有限或无限)内可导且在内只有一个驻点.(1)若对内的任意,当时,而当时,则为在内的最大值;(2)若对内的任意,当时,而当时,则为在内的最小值.,唯一驻点情形的图示:,“单峰”:成为在整个区间上的最大值.,“单谷”:成为在整个区间上的最小值.,例6设是两个正数，满足条件（常数），求的最大值，其中,可见是函数在区间内唯一驻点。,所以函数在点处取得最大值。最大值为,(“单峰”情形),NB本题当m=n=1时,即得大家熟知的结果:和为定数的两个正数,当它们相等时其乘积最大.,*例7设抛物线上在点处的法线交该抛物线的另一点，求线段的最短距离。,解设，则的斜率为，,因点的切线斜率为，故点的法线斜率，,且线段的长度为,设目标函数,情形3在很多实际问题中,由问题的性质可以判断函数在其定义域的内部确有最大值或最小值,而在内只有唯一的驻点,那么可不用判定是极大值点或极小值点,就能断定必是所求的最大值或最小值.,例8将边长为的正三角形剪去三个全等的四边形（如图所示）然后将其折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的取何值时，该盒子的容积最大？,解盒子的高为,底面面积为,故相应的体积为,求导后并令其为零，即,当时，该盒子的容积最大。,在内得唯一驻点，,又,由本问题的实际,意义可知,盒子的最大容积是必然存在的,且最大值点必位于开区间的内部,于是立即可得结论:,自学例