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数学归纳法,问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,模拟演示,问题情境,问题2:某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的,问题3:如果an是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d,由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法,（2）不完全归纳法：考察部分对象，得到一般结论的推理方法,归纳法,归纳法分为：,完全归纳法,和,不完全归纳法,多米诺骨牌演示,(2)任意相邻的两块骨牌前一块倒下，一定导致后一块倒下,请思考：满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下?,(1)第一块骨牌倒下；,(相当验证n=n0时等式成立.),(相当假设n=k时等式成立，证明,n=k+1时，等式也成立.),一个与自然数相关的命题，如果（1）当n取第一个值n0时命题成立；（2）在假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。,这种证明方法叫做数学归纳法,数学归纳法,例1用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，公差为d,那么an=a1+(n-1)d对一切nN+都成立。,(2)假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k-1)d,那么当n=k+1时,ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，结论也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN+都成立。,利用假设,结论,从n=k到n=k+1有什么变化,例题讲解,证明:(1)当n=1时，左边=a，右边=a+（1-1）d=a当n=1时，等式成立,(2)假设当n=k时,等式成立，即,证明：(1)当n=1时，左边=1,右边=1，等式成立。,那么,这就是说，当n=k+1时等式成立。由(1)和(2)可知，等式对任何nN+都成立。,例题讲解,用数学归纳法证明,课堂练习,练习1用数学归纳法证明,证明：,当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。,假设当n=k时，等式成立。即,那么当n=k+1时，,这就是说，当n=k+1时等式成立。由(1)和(2)可知，等式对任何nN+都成立。,由（1），（2）得出结论,找准起点奠基要稳,用上假设递推才真,写明结论才算完整,归纳小结,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论、缺一不可:,先验证当n取第一个值n0（一般取使结论有意义的最小正整数）时结论正确,假设n=k时结论正确，推出n=k+1时结论也正确,两个步
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