高考数学复习第四讲导数基础知识重点题目参考答案.doc

第4讲 导数概念【问题导学】1平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商，称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx)4. 基本初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx(x0，0且Q)yx1，为有理数yax(a0，a1)yaxln aylogax(a0，a1，x0)yysin xycos xycos xysin x单调性【问题导学】一.函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增2.已知f(x)aln x(a为常数)，讨论函数f(x)的单调区间；解：函数f(x)的定义域为(0，).f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.【对点演练1】 1.已知函数f(x)ax2(a1)xln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)ax(a1)(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减2.讨论函数f(x)ex(exa)a2x的单调性解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；当a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增考点二已知函数在某区间上的单调性，求参数的范围【典型例题2】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，h(x)ax2.h(x)在(0，)上存在单调递减区间，当x(0，)时，ax20有解，即a有解.设G(x)，只要aG(x)min即可.而G(x)21，G(x)min1，a1.(2)h(x)在1,4上单调递减，x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，aG(x)max，而G(x)21，G(x)max，a.【对点演练2】1.若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_.答案3，)解析因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立.令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3，所以a3.2设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B4，)C(，2 D(0,3答案A解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)x，由f(x)0，解得0x3，由题意知解得10，解得0x1，令g(x)1，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，故a.5.若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.由题意知，f(x)0在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.6.已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(，) B.，C.(，) D.(，)答案B7.已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间解根据题意可得，当a0时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为eax0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当a0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.当0a1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.函数极值【问题导学】考点一 函数的极值1.函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2.函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值3.一般地，求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值4.求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.【典型例题1】1.已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )A1B2C3D4答案： B 解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与 x 轴的交点个数为 4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x0 不是函数 f(x)的极值点，其余的 3 个交点都是极值点，其中有 2 个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2 个【对点演练1】设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则( )Af(x)极大值为f()，极小值为f()Bf(x)极大值为f()，极小值为f()Cf(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)答案：D 解析：当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0；当x时，f(x)0)(1)当a1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(，)上无极值点，求a的取值范围解：f(x)3ax24x1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)x32x2x1，f(x)3x24x1，由f(x)0，解得x1；由f(x)0，解得x0，所以f(x)3ax24x10在(，)上恒成立，则有(4)243a10，即1612a0，解得a.故a的取值范围为.【对点演练3】1求函数 f(x)的极值，并画出函数的草图解析：函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递增单调递减因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值函数的草图如图所示2.设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex，若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解由f(x)ax2(3a1)x3a2ex，得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)考点二 求函数的极值1.在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值2.若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值3.设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【典型例题4】已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x，有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.【对点演练4】已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求实数a的值解：(1)由题意得f(x)的定义域是(0，)，且f(x)，因为a0，所以f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增(2)由(1)可得f(x)，因为x1，e，若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)minf(1)a，所以a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)minf(e)1，所以a(舍去)若ea1，令f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当ax0，所以f(x)在(a，e)上单调递增，所以f(x)minf(a)ln(a)1，所以a.综上，a.【目标评价】1函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是( )答案：D 解析：观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确2若是函数的极值点，则的极小值为( )A-1B. CD1答案：A解析：由题可得，因为，所以，故令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值为，故选A。3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )A(1,2)B. (，3)(6，)C(3,6)D(，1)(2，)答案：B解析：f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a3.4函数yx44x3在区间2,3上的最小值为( )A72B.36C12D0答案：D解析：因为y4x34，令y0即4x340，解得x1.当x1时，y1时，y0，在区间2,3上只有一个极值点，所以函数的极小值为y|x10，所以ymin0.5设函数f(x)b(a，bR)，已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1.(1)求实数a，b的值；(2)求f(x)的最大值解：(1)因为f(x)的定义域为(0，)，f(x).所以f(1)a，又因为切线斜率为1，所以a1.由曲线yf(x)过点(1,0)，得f(1)b0.故a1，b0.(2)由(1)知f(x)，f(x).令f(x)0，得xe.当0x0，得f(x)在(0，e)上是增函数；当xe时，有f(x)0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数f(x)在(0，)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a0时，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数f(x)有一个极大值点恒成立【问题导学】考点一：恒成立问题(1)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，则：不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立.(2)若函数f(x)在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则：不等式（或）在区间D上恒成立；不等式（或）在区间D上恒成立.【典型例题1】已知函数f(x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)若a1，则f(x)xex2(2x1)即f(x)xexex4，则f(0)3，f(0)2，所以所求切线方程为3xy20.(2)由f(1)0，得a0，则f(x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数F(x)(x0)，则F(x).当0x0；当x1时，F(x)0，f(x)max=f(e) =2+e22-3e，m2+e22-3e.【典型例题2】已知(1)求函数在区间上的最小值;(2)对一切实数,恒成立，求实数a的取值范围;(3)证明对一切, 恒成立 解： ，当，单调递减，当,单调递增 ，t无解； ，即时，； ，即时，在上单调递增，；所以 ，则，设，则，单调递增，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以； 问题等价于证明，由可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立【对点演练2】已知函数(1)若函数在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)设若对恒成立,求实数的取值范围解: （1）由得或（舍去）经检验, 时,函数在处取得极值.时, 所以所求切线方程为（2）的定义域为令 得 当时, 当时, 在定义域上单调递增; 当时, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 在和上单调递增, 在上单调递减（3）由题意知, , 即对恒成立令, 则令, 得当时, 单调递减; 时, 单调递增所以当时, 取得最小值又考点二：存在性问题(1)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，即f(x)m,n，则关于不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解.(2)若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(m,n)，则关于不等式有解问题有以下结论：不等式（或）在区间D上有解；不等式（或）在区间D上有解.【典型例题3】已知为实数，函数.(1)是否存在实数,使得)在处取得极值？证明你的结论;(2)设,若,使得成立,求实数的取值范围解：(1)函数f(x)定义域为(0，)，f(x)2x4.假设存在实数a，使f(x)在x1处取极值，则f(1)0，a2，此时，f(x)，当x0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)【对点演练3】已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)