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,二阶常系数,机动目录上页下页返回结束,第五节(2),齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动目录上页下页返回结束,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动目录上页下页返回结束,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,机动目录上页下页返回结束,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动目录上页下页返回结束,例3.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,解:,机动目录上页下页返回结束,补充例题,例4.,解:,由第五节例1知,位移满足,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设t=0时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程,机动目录上页下页返回结束,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况(n=0),机动目录上页下页返回结束,解的特征:,简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,机动目录上页下页返回结束,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:nk,临界阻尼:n=k,解的特征,解的特征,解的特征,机动目录上页下页返回结束,(nk),大阻尼解的特征:,1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,机动目录上页下页返回结束,(n=k),临界阻尼解的特征:,任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,机动目录上页下页返回结束,例5.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广目录上页下页返回结束,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,求方程,的通解
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