概率与统计31教科院

例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。,3.1二维随机变量的联合分布,一、二维随机变量,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，,故我们,重点讨论二维随机变量.,定义,设随机试验的样本空间为,而,上的二维随机变量或二维随机向量.,注：,一般地，,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点,二、二维随机变量的分布函数,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,与一维情况类,我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.,定义,对任意实数,二元函数,故需,似,或称为随,若将二维随机变量,视为平面上随机点的坐,标，,则分布函数,(如下图)的概率.,由概率的加法法则，,的概率,（x2,y2）,二维随机变量的分布函数,则可由,的,边缘分布函数.,联合分布函数的性质,联合分布函数的性质：,且,(1),注：,以上四个等式可从几何上进行说明.,对任意固定的,对任意固定的,联合分布函数的性质,（2）,即,对任意固定的,当,对任意固定的,当,（3）,即,go,例,解：,求两个边缘分布函数。,三、二维离散型随机变量及其概率分布,为二维离散型随机变量,离散型随机变量.,定义,值为,则称,则,均为,易见，,满足下列性质：,与一维情形类似，,有时也将联合概率分布用表格形,式来表示，,并称之为联合概率分布表:,联合概率分布表,对离散型随机变量而言，,联合概率分布不仅比联合,分布函数更加直观，,而且能够更加方便地确定,设二维离散型随机变,量的概率分布为,则,特别地，,由联合概率分布可以确定联合分布函数:,联合概率分布表,分布：,关于,注：,例1,设随机变量,在1,2,3,4四个整数中等可能地取,一个值,另一个随机变量,一整数值,解,且,取不,例1,把一枚均匀硬币抛掷三次,中正面出现的次数,出现次数之差的绝对值,解,解,缘分布.,从而得右表,求,及,追加问题：,例,求,解,例,设二维随机变量的联合概率分布为,解,四、二维连续型随机变量及其概率密度,定义,为其分布函,数，,若存在一个非负可积的二元函数,任意实数,有,的概率密度(密度函数)，,密度(联合密度函数).,使得对,二维连续型随机变量及其概率密度,(1),(2),二维连续型随机变量及其概率密度,(3),则有,进一步，,根据偏导数的定义，,可推得：,有,小时，,即，,因为：,故当,有,很小时，,又因为，,故当,有,很小时，,即,即,因此,二维连续型随机变量及其概率密度,(4),的概率为,特别地，,边缘分布函数,上式表明，,是连续型随机变量，,且其密度函数为:,二维连续型随机变量及其概率密度,同理，,是连续型随机变量，,且其密度函数为：,度函数.,设二维随机变量,的概率密度为,(1)确定常数k；,.,(4)求,例,（5）求(X,Y)的边缘密度，,(1),所以,解,(2),当时，,当时，,所以，,(3),或解,(4),（5）边缘密度函数分别为,当时,当时,所以，,同理可得,例3,(1),求分布函数,(2),求概率,解:（1）,当时，,当时，,例3,(1),求分布函数,(2),求概率,解：（1）所以,即有,例3,(1),求分布函数,(2),求概率,解,(2),即有,及其下方的部分,如图.,于是,例3,(1),求分布函数,(2),求概率,解,于是,(2),例3,(1),求分布函数,(2),求概率,解,于是,(2),（3）边缘密度函数分别为,当时,当时,所以，,同理可得,追加问题：求（3）（X,Y）的边缘密度。,例4,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(1),同理，当时,例4,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解：（2）,当时：,例4,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(2),即,go,例,求边缘概率密度,解,五、二维均匀分布,其面积为,若二维随机,其它,注：,若,在,上服从均匀分布,则其概率密度函,数反应在几何上为定义在,面内区域,上的空间,的一块平面,二维均匀分布,的概率与小区域的,而与,的位置无关，,上任投一质点，,若质点,面积成正比,分布.,矩形域上的均匀分布,容易得到服从矩形区域,上的,均匀分布,的两个边缘分布仍为均匀分布，,且分别为,其它,其它,但对其它形状的区域,不一定有上述结论.,注：,关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论：,例5,分布,解,从而,例5,分布,解,成,二、二维正态分布,且,的二维正态分布.,记为,二维正态分布,(2),二维正态分布的两个边缘,即,密度仍是正态分布，,注：,(1),图形如下图.,服从二维正态分布的概率密度函数的典型,证明：,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,事实上，,因为,而且,于是,令,则有,同理,注：,上述结果表明，,二维正态随机变量的两个边缘,分布都是一维正态分布，,且都不依赖