ch7FIR数字滤波器的设计

主要内容,7.1线性相位FIRDF的条件和特点,7.2利用窗函数法设计FIRDF,7.3利用频率采样法设计FIRDF,7.4IIR和FIR数字滤波器的比较,第七章FIR数字滤波器的设计,引言,一、FIR的优点（相对于IIR滤波器）1）FIR可以设计成严格的线性相位，而IIR滤波器优良的幅频特性是以非线性相位作为代价的；2）FIR滤波器可以用FFT技术来设计任意形状的幅频特性滤波器；3）FIR滤波器总是稳定的。二、FIR的主要缺点：1）h(n)长，阶数N比较高，运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元；2）幅频特性不是很理想。,FIR的优点及FFT技术的使用，使得它在各个领域的信号处理中得到广泛的应用。,系统函数描述：,差分方程描述：,三、FIR滤波器的设计任务,FIR滤波器的设计任务就是按照要求的频率特性，以一定的准则选取式中的多项式系数h(n)，即滤波器的单位冲激响应及阶数N，使传输函数H(ejw)满足技术指标。这里技术指标除了幅度特性要求以外，更重要的要求是保证H(z)具有线性相位。,7.1线性相位FIRDF的设计条件和特点,是w的实函数，称为幅度特性,为了保证H(z)具有线性相位，单位取样响应h(n)应满足的条件？满足线性相位条件下，幅度特性具有的特点？,FIRDF的频率响应：,称为相位特性,是正值，称为幅频特性,称为相频特性,H(ejw)线性相位是指(w)是w的线性函数。,(w)=-w（为常数）,第一类线性相位:,第二类线性相位:,(w)=0-w（0为起始相位）,推导第一类线性相位，单位取样响应应满足的条件：,设h(n)是实序列：,第一类线性相位,两边取tan：,一、条件,要线性相位，应满足上式。要满足上式，h(n)应满足怎样的条件？,第一类线性相位：,用类似方法可证明第二类线性相位要求：h(n)对(N-1)/2奇对称,偶数奇数,N,偶数奇数,N,二、特点,共有4种情况，讨论4种情况下幅度特性的特点。,第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数,第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数,因为cos(wn)对w=0,2偶对称，所以Hg(w)对这些频率偶对称。,第一种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是奇数,可用于设计各种滤波器。,则幅度特性和相位特性分别为：,Hg(w)对w=是奇对称，且Hg()=0。,第二种情况:h(n)=h(N-1-n)，N是偶数,对=奇对称,不能用这种情况设计w=处H(ejw)不为0的滤波器，如高通、带阻滤波器。,第三种情况:h(n)=-h(N-1-n)，N是奇数,只能用于带通滤波器的设计。,第四种情况:h(n)=-h(N-1-n)，N是偶数,只能用于高通、带通滤波器的设计。,以上四种频率特性可参考教材P198：表7.1.1。从四种频率特性可以看出，对FIRDF，只要h(n)具有对称性，则一定具有线性相位特征。而当h(n)奇对称时，通过滤波器的所有频率分量都将产生90的相移。,7.2利用窗函数法设计FIR滤波器,1、设计原则,FIR数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性作某种近似的基础上的。例如，设计一低通FIRDF，设计的基础是依据理想低通DF的频率特性：,2、设计思路和方法：1)由理想的频率响应Hd(ejw)得到理想的hd(n)；2)对hd(n)加窗；3)由hd(n)移位得到因果、有限长的单位取样响应h(n)。,以上述要求为例：,设已知|Hd(ejw)|=1，()=0，则其逆变换（或者说理想低通数字滤波器的单位取样响应）：,hd(n)的特点：特点：无限长非因果偶对称（优点）解决方法：加窗截短移位(N-1)/2保留h(n)=hd(n-(N-1)/2),此时的h(n)是因果的、线性相位，且为有限长（长度为N）。,即为所要设计的滤波器的系统函数，其频率响应就会近似理想低通滤波器的频响Hd(ejw)，而且是线性相位的。,对h(n)求Z变换：,总结：截取无限长序列hd(n)的一段作为FIR滤波器的冲激响应，只要乘以一窗函数w(n)，只不过在这里，选择的窗函数w(n)=RN(n)，是一矩形窗函数。显然，不同的截取长度N及不同的窗函数，会给设计的滤波器带来不同的特性。为此，以理想低通滤波器为例说明序列长度N和窗函数的影响。,3.矩形加窗滤波器特性,a=(N-1)/2也就是事先给一线性相位，,幅频特性如图：,取Hd(ejw)的逆变换得hd(n)：,为了省去每次的移位，可以令,hd(n)以n=a为对称，,a=(N-1)/2,如果选择的函数为矩形窗w(n)=RN(n)=10nN-10其它,矩形窗的频率特性为,w=0,一半波形的积分,最大的正峰,最大的负峰,比较(a)和(f)的特性可以看出：（1）经过矩形窗函数的加权后，理想滤波器陡直的边缘被加宽，也就是在w=wc出现了过渡带，其值大约为RN(w)的主瓣宽度4/N。（2）通带内出现起伏，最大峰值在wc-2/N处，起伏为0.75dB=20lg(1+0.0895)（第一旁瓣峰值为最大幅度的8.95%，这种效应称为不连续点上的Gipps效应）阻带衰减不为0，最大旁瓣为第一旁瓣，其值为-21dB=20lg(0.0895);在过渡带两侧附近产生起伏的“肩峰”和波纹，是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大，起伏就越剧烈。,以上两点就是对hd(n)用矩形窗截短后，在频域的反应。,实际上矩形窗的频率特性如图(b)，它有比较窄的主瓣宽度（两零点间的宽度为w=4/N,相当于过渡带宽度，过渡带越窄越好），但旁瓣电平比较高，第一旁瓣电平为20lg0.21=-13.56dB，阻带衰减比较慢。（3）增加截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度4/N，但却不能减小旁瓣相对值。旁瓣与主瓣的相对值主要取决于窗函数的形状。因此，增加N，只能减小过渡带宽度，不能改善滤波器通带的平稳性和阻带的衰减。,因此，减少通带内起伏和加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。,4.几种窗函数主要指标，类型（1）矩形窗,其频率响应为：,主瓣宽为4/N,第一旁瓣电平为-13dB,（2）三角形窗（BartlettWindow）,频率响应为：,主瓣宽为8/N,第一旁瓣电平为-26dB,（3）汉宁窗(Hanning),（4）哈明窗（Hamming）,可合并在一起,其频谱为,广义哈明窗,广义哈明窗的频谱由三部分组成，由于三部分的相互叠加，使旁瓣相互抵消，更多的能量集中在主瓣中。,为矩形窗的频谱,二者之瓣宽度为(2/N)4=8/N汉宁：最大旁瓣电平-31dB哈明：-41dB,这两种窗函数与矩形窗相比：通常内起伏变小，阻带衰减变大（优点），但代价是过渡带加宽。,（5）布莱克曼窗(Blackman),主瓣宽度为62/N=12/N最大旁瓣电平为-57dB旁瓣进一步抵消阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗过渡带的三倍。,比较各窗函数，可得：矩形窗具有最窄的主瓣，但也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰减速度。汉宁窗和哈明窗的主瓣稍宽，但有较小的旁瓣和衰减速度，是较为常用的函数。,称为第一类修正零阶贝塞尔函数,（6）凯塞贝塞尔窗(kaiserBasel),一般I0(x)取1525次，便可满足精度要求参数可以控制窗的形状，典型数据为49加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。窗函数的类型：基本上两大类1）结构性窗：简单的窗函数经过相加，相乘或卷积来合成一个性能较好的窗。例：前5种，三角形是矩形的卷积汉宁是三个矩形的叠加：,2）按优化准则构造的窗：Kaiser窗；高斯窗,4、各种窗函数的技术指标总结：用表表示（P211）,求理想滤波器的单位取样响应hd(n)已给定Hd(ejw),5、窗函数法的设计步骤,四种理想滤波器的频响函数：,低通,高通,四种理想滤波器的频响函数：,带通,带阻,只给通带、阻带衰减和边界频率可选用理想滤波器做为逼近函数：,2）根据阻带衰减选择窗函数w(n)，根据允许的过渡带宽度选择相应的序列长度N。A.选择窗函数w(n)：根据阻带衰减，查表7.2.2（P211）B.选择序列长度N：设允许的过渡带用w=wp-ws表示，它近似等于所选窗函数的过渡带宽度Bt（查表7.2.2）：w=Bt,3）由窗函数w(n)和hd(n)求出滤波器的单位取样响应。h(n)=hd(n)w(n)4）验证指标,6、设计举例例1：分别用矩形窗和汉宁窗设计FIR低通滤波器，设N=11，wc=0.2rad/s。解：1)用理想低通作为逼近滤波器，用矩形窗设计,2)用汉宁窗设计,例2：要求设计一低通滤波器，给定采样频率sam=2104rad/s。通带截止频率p=2103rad/s，阻带截止频率s=21.5103rad/s,阻带衰减不低于-50dB。解:(1)确定hd(n)先求wc：由过渡带可得低通过滤器的3dB截止频率c=(p+s)/2=2.5103rad/s。则,解:(2)阻带衰减50dB，可选哈明窗。过渡带带宽：w=2/sam(s-p),(3)求滤波器冲激响应,7.3用频率采样法设计FIR滤波器1.设计原理窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。有时技术指标是在频域给出的，用频率采样法更直接。设待设计的FIR滤波器的频率响应用Hd(ejw)表示，对它在间等间隔采样N点，得到H(k),H(k)反FFT得h(n)，将h(n)作为滤波器的单位取样响应，取Z变换即可。实际上对H(k)通过内插关系可得：,z=ejw：,式,式中,分析H(ejw)和Hd(ejw)之间的误差：由式可知：在采样点w=2k/N，k=0,1,2,3N-1,(w-2k/N)=1.因此在采样点处H(ejwk)和H(k)相等，误差为零，即设计的滤波器特征与要求的特征完全一致，而在采样点之间H(ejw)的特征是由各内插函数相互叠加的结果。,因此引起误差，导致通带和阻带都存在起伏。在间断点处，误差最大，且在附近形成振荡特性。为了改善滤波器的特性，可以对频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡。频率采样法设计流程图：,确定希望逼近的Hd(ejw)估算采样点数N及过渡带采样点数m,采样：hd(k)