三角形中的角平分线

1.4角平分线的性质(2),数学湘教版八年级下,导入新知,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,1、角的平分线的性质定理:,PDOA，PEOB,OC是AOB的平分线,PDPE,几何语言表述：,2、角平分线的性质定理的逆定理：,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,动脑筋：,如图，已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？,新知讲解,新知讲解,解：可以添加MN=ME（或MN=MF）,MECD，MNCAM在ACD的平分线上，即CM是ACD的平分线同理可得AM是CAB的平分线。,理由如下：,新知讲解,例2、如图，在ABC的外角DAC的平分线上任取一点P，作PEDB，PFAC，垂足分别为点E，F。试探索BE+PF与PB的大小关系。,新知讲解,解：AP是DAC的平分线又PEDB，PFACPE=PF在EBP中，BE+PEPBBE+PFPB。,学以致用,如图：ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDFBAF180（1）求证：DEDF；,学以致用,（1）证明：作DMAB于M，DNAC于N，又AD平分BAC，DMDN，EAFEDF180，AEDAFD360180180，AFDCFD180，AEDCFD，DMEDNF，DEDF,新知讲解,如图，你能在ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？,新知讲解,因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作ABC任意两角（例如A与B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在C的平分线上，如图,分析：,你能证明吗？,新知讲解,如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,新知讲解,学以致用,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得此点一定在角的平分线上，故作出a、b、c三条线组成的角的平分线，其中两个角平分线的交点就是度假村的位置,解：如图所示：,点P即为所求,学以致用,定理：三角形的三条角平分线相较于一点，并且这一点到三边的距离相等。,这个交点叫做三角形的内心,新课讲解,归纳,巩固提升,1.到三角形三边距离相等的点是（）三条高的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.不能确定2.如图所示，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6cm，则DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.10cmD.以上都不对,C,B,巩固提升,3、如图，ABC的ABC的外角平分线BD与ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为.,4,4、如图，点M在ABC内，MEAB于E点，MFBC于F点，且ME=MF，ABC=70，则BME=,55,巩固提升,5、如图，在ABC中，AD平分BAC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：ADEF,巩固提升,证明：AD平分BAC，EAD=FAD，DEAB，DFAC，AED=AFD在AED和AFD中，=AEDAFD（AAS），AE=AF，AD平分BAC，ADEF,巩固提升,6.某市有一块有三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置,要求：在给出的示意图上用直尺和圆规作出小亭中心位置（用P表示），不写作法，但要保留作图痕迹,巩固提升,解：设三条公路围成的三角形绿地为ABC，,如图,点P为ABC中CAB与ABC的角平分线的交点,课堂小结,角平分线的性质,3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相逢的新途径,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,1、角的平分线的性质定理:,2、角平分线的性质定理的逆定理：,角的内部到角的两边距离