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文档简介

1,利用球面坐标计算三重积分,小结,8.3三重积分(2),利用柱面坐标计算三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,将三重积分化为三次积分,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,所围成立体的投影区域如图，,当被积函数是,积分域由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面,用,所围成的.,柱面坐标,计算三重积分较方便.,解,积分域用柱坐标表示为,原式,解,?,如先对z积分,其中是由锥面,例,与平面,思考,所围成的锥台体.,可看出如先对z积分,(积不出来).,将遇到积分,最后对z积分.,这里应先对,积分,曲面之内及曲面,之外所围成的立体的体积,D,练习,解,V=2V1,提示,锥面被圆柱面,所截,求锥面下方、xOy面上方、圆柱内的区域V的体积.,V1为第一卦限部分的体积.,练习,正方向间的夹角为,二.利用球面坐标计算三重分,设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,称,为点M的,球面坐标.,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,体积元素为,球面坐标下的体积元素,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d.,区域由六个坐标面围成：,化为三次积分,通常是,解,当积分区域是球形域,或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有,的形式时,用,球面坐标,计算三重积分较简便.,或是球的一部分;,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是的奇函数,解,解法1,练习,解法2,解法3,（1）柱面坐标的体积元素,（2）球面坐标的体积元素,（3）对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,思考题,是非题,非,因为被积函数,的积分范围是,整个球体,而非球表面.,作业,习题8-
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