M02n第二章初等模型

第二章初等模型,2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.4汽车刹车距离2.5划艇比赛的成绩2.6动物的身长和体重2.7实物交换2.8核军备竞赛2.9启帆远航2.10量纲分析与无量纲化,2.1公平的席位分配,问题,三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席.,因学生转系,三系人数为103,63,34,如何分配20席?,若代表会议增加1席，如何分配21席?,比例加惯例,对丙系公平吗,背景,Hamilton(比例加惯例)方法-1792年美国国会用于分配各州众议员名额,已知:m方人数分别为p1,p2,pm,记总人数为P=p1+p2+pm,待分配的总席位为N.,记qi=Npi/P,称为第i方的份额(i=1,2,m),各方先分配qi的整数部分qi,总余额为,记ri=qi-qi,则第i方的分配名额ni为,要求,已知份额向量q=(q1,qm),找一个整数分配向量n=(n1,nm),使n与q最接近.,Hamilton方法的不公平性,1.p1,p2,pm不变,N的增加会使某个ni减少(上例).,2.N不变,pi比pj的增长率大,会使ni减少nj增加(例1).,3.p1,p2,pm不变,m增加1,N的增加会使某个ni增加而某个ni减少(例2).,例1,例2,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1=p2/n2时，分配公平,p1/n1p2/n2对A的绝对不公平度,p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10,p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100,p1/n1p2/n2=5,实际上右面对A的不公平程度已大大降低!,虽然左右两种情况的绝对不公平度相同.,若p1/n1p2/n2，对不公平,A,p1/n1p2/n2=5,公平分配方案应使rA,rB尽量小,设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B?,不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平.,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若p1/n1p2/n2，定义,1）若p1/(n1+1)p2/n2，,则这席应给A,2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)p2/n2,问：,p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B,“公平”分配方法,当rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给A,该席给A,否则,该席给B,推广到m方分配席位,计算,该席给Q值最大的一方,Q值方法(Huntington),“公平”分配方法,三系用Q值方法重新分配21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,Q2,Q3同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席,乙系6席,丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,模型的公理化研究,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的公理(1974),份额qi=Npi/P,分配名额ni=ni(N,p1,pm),已知p1,p2,pm,P,N,1)qiniqi+1(i=1,2,m)公平分配性,2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)名额单调性,3)若pi车身的平均长度15英尺(=4.6m),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同.,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵敏性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动.,车速,假设与建模,1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和.,2.反应距离d1与车速v成正比.,3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,Fd2=mv2/2,Fm,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比.,反应时间t1的经验估计值为0.75秒.,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合k.,模型,最小二乘法k=0.06,“2秒准则”应修正为“t秒准则”,模型,2.5划艇比赛的成绩,对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系.试建立数学模型揭示这种关系.,问题,准备,调查赛艇的尺寸和质量,问题分析,前进阻力浸没部分与水的摩擦力,前进动力桨手的划桨功率,分析赛艇速度与桨手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:,对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.,运用合适的物理定律建立模型.,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比,2）v是常数，阻力f与sv2成正比,符号：艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,桨手数n,桨手功率p,桨手体重w,艇重W.,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,桨手的特征,模型建立,fsv2,pw,s1/2A1/3,AW(=w0+nw)n,npfv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn1/9进行检验.,与模型吻合！,划艇比赛的成绩,对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.,利用物理基本知识分析问题.,模型假设比较粗糙.,利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度).,模型结果与实际数据十分吻合(巧合！),2.6动物的身长和体重,背景与问题,研究四足动物躯干的长度与体重的关系.,家畜收购站(屠宰场)希望从躯干长度估计体重.,不陷入各种动物生理结构的研究.,问题分析,将动物躯干类比为圆柱形的弹性梁，四肢为支架，借助弹性力学的已有结果进行分析.,假设与建模,1.躯干为圆柱体，长度l,直径d,断面面积s.,2.圆柱体为弹性梁，四肢为支架.,3.动物在自身体重f作用下，躯干最大下垂为b(梁的最大弯曲).,4.弹性力学的已有结果：,5.由fsl,得,b/l是动物躯干的相对下垂度.,在长期进化过程中每种动物的b/l已经达到最合适的数值，即b/l=常数(与动物尺寸无关).,b/l太大，四肢无法支撑；,b/l太小，四肢的尺寸超过支撑躯干的需要，不合乎生物进化论.,对于一种四足动物(如生猪)由统计数据确定系数k.,l3d2,fsl,sd2,l3d2,假设与建模,可以从躯干长度l估计动物体重f.,动物的身长和体重,将动物躯干类比为弹性梁充满想像力的大胆假设!,把不熟悉的问题转化为有确切研究成果的弹性梁在自重下的挠曲问题.,类比法是数学建模的一种常用方法.,问题,甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案.,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).,2.7实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1,p2对甲是无差别的.,将所有与p1,p2无差别的点连接起来,得到一条无差别曲线MN.,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度.,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上,于是形成一族无差别曲线（无数条）.,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加,y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y.,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f等满意度曲线）,甲的无差别曲线,乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）.,双方的交换路径,乙的无差别曲线族g=c2(坐标系xOy,且反向）,甲的无差别曲线族f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!,因为在AB外的任一点p,(双方)满意度低于AB上的点p.,两族曲线切点连线记作AB,分析与建模,A,B,交换方案的进一步确定,交换方案交换后甲的占有量(x,y),0xx0,0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,C,D,(x0,0),(0,y0)两点的连线CD.,AB与CD的交点p,设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0),y,yo,0,xo,.,.,x,p,.,2.8核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级.,随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列核裁军协议.,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态.,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化.,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响.,背景与问题,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定.,模型假设,图的模型,y=f(x)甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线),x=g(y)乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线),当x=0时y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,分析模型,乙方残存率s甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.,sx个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击.,xy,甲方以x枚导弹攻击乙方y个基地中的x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个基地被攻击2次,s2(xy)个未被摧毁;y(xy)=2yx个被攻击1次,s(2yx)个未被摧毁.,y0=s2(xy)+s(2yx),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交换比(甲乙导弹数量比),x=ay,分析模型,x=y,y=y0/s,x=2y,y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,y是一条上凸的曲线,y0变大，曲线上移、变陡.,s变大，y减小，曲线变平.,xy,y=y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.,乙方威慑值y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.,（其他因素不变）,乙安全线y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x0不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.,PP,双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.,(x,y仍为双方核导弹的数量),双方威慑值x0,y0和残存率s均减小.,y0减小y下移且变平,s变小y增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.,模型解释,乙安全线y=f(x),核军备竞赛,对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.,提出安全曲线概念，给出它的一般形式.,通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式.,利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.,帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向.,简化问题,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,2.9启帆远航,模型分析,风(通过帆)对船的推力w,风对船体部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且s1远大于s2.,f1航行方向的推力,p1航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsinsin(-),p1=pcos,模型假设,w2与帆面平行，可忽略.,f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.,模型建立,w=ks1,p=ks2,船在正东方向速度分量v1=vcos,航向速度v与力f=f1-p1成正比.,v=k1(f1-p1),2)令=/2,v1=k1w(1-cos)/2-pcoscos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）,1)当固定时求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,=k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsinsin(-),p1=pcos,求,使v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,6075,1t2,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型.航行过程中终点B将不在正东方，应调整和.,记t=1+2s2/s1,k2=k1w/2,=(k1w/2)1-(1+2p/w)coscos,w=ks1,p=ks2,1/4s2,2.10量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度l的量纲记L=l,质量m的量纲记M=m,时间t的量纲记T=t,动力学中基本量纲L,M,T,速度v的量纲v=LT-1,导出量纲,加速度a的量纲a=LT-2,力f的量纲f=LMT-2,引力常数k的量纲k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),2.10.1量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.,例：单摆运动,求摆动周期t的表达式,设物理量t,m,l,g之间有关系式,1,2,3为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,与对比,对x,y,z的两组量测值x1,y1,z1和x2,y2,z2,p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2),为什么假设这种形式?,设p=f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,量纲齐次原则,单摆运动,单摆运动中t,m,l,g的一般表达式,y1y4为待定常数,为无量纲量,基本解,设f(q1,q2,qm)=0,ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-r,F(1,2,m-r)=0与f(q1,q2,qm)=0等价,F未定.,Pi定理(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,qm的量纲可表为,量纲矩阵记作,g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力f,航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g.,m=6,n=3,Ay=0有m-r=3个基本解,rankA=3,rankA=r,Ay=0有m-r个基本解,ys=(ys1,ys2,ysm)Ts=1,2,m-r,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,F(1,2,3)=0与(g,l,v,s,f)=0等价,为得到阻力f的显式表达式,F=0,未定,F(1,2,m-r)=0与f(q1,q2,qm)=0等价,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0中包括哪些物理量是至关重要的.,基本量纲个数n;选哪些基本量纲.,有目的地构造Ay=0的基本解.,方法