第五章 常微分方程数值解法11

2020/5/11,1,第五章常微分方程数值解法,1问题的提出和基本概念,1、问题的提出;,2、常微分方程初值问题的数值解法;,3、一些基本概念,2020/5/11,2,2单步法及其收敛性,1、Euler法，梯形公式，改进Euler法,A）设计思想：,（1）差商代替导数；,（2）数值积分法；,（3）泰勒展开法。,B）改进的Euler公式,2、龙格-库塔（Runge-Kutta）法,A)龙格-库塔法的设计思想；,B)龙格-库塔法的设计方法；,C)常用龙格-库塔法。,C）总结,2020/5/11,3,3步长的选择,1、精度的控制；,2、步长的自动选择。,4收敛性与稳定性简介,1、收敛性；,2、稳定性。,单步法小结,6一阶常微分方程组和刚性问题,5线性多步法简介,2020/5/11,4,1、问题的提出,（1）,设初值问题（1）的解存在且唯一，求解（1）会遇到如下问题：,A）（1）的解析解无法表出；B）（1）的解析解可以求出，但是计算其函数值很复杂。,如：,其解析解为,返回,2020/5/11,5,2、常微分方程初值问题的数值解法,给定步长h0，取节点,通过数值方法计算问题(1)的解y(x)在各个节点处的近似值,该数值方法称为初值问题(1)的数值解法，近似解yk称为数值解。,常微分方程数值解法的特点,从初值出发，顺着节点排列次序一步步向前推进，即利用已知信息，来计算。,步进式,返回,2020/5/11,6,3、一些基本概念,（1）单步法和多步法,单步法：计算yk+1时，只用到前一节点的信息；（自开始）,多步法：计算yk+1时，用到了前面一个以上节点的信息；,（2）显式格式和隐式格式,显式格式：若yk+1的计算表达式只含有已知信息；（便于计算）,隐式格式：yk+1的计算表达式含有未知信息。（数值稳定性好）,一般形式:,增量函数,2020/5/11,7,（3）截断误差,若计算数值解yk+1时用到的信息都是准确的，称,为该方法的局部截断误差，,返回,并称该方法为p阶方法。,2020/5/11,8,（1）差商代替导数,1）向前差商,Euler公式（显式格式）,（2）,2）向后差商,（3）,隐式Euler公式,2020/5/11,9,3）中心差商,Euler两步法,显式格式,（4）,返回,2020/5/11,10,（2）数值积分法,1）左矩形公式,Euler公式,2）右矩形公式,隐式Euler公式,2020/5/11,11,注：梯形公式即为Euler公式和隐式Euler公式的算术平均！,3）梯形公式,梯形公式,（5）,4）中矩形公式,Euler两步法,返回,2020/5/11,12,（3）泰勒展开法,1）将y(x)在x=xk处展开,令x=xk+1，则,只保留h的线性项，得,Euler公式,局部截断误差为（假设yk准确）,因此，为一阶方法！,（6）,主项,2020/5/11,13,2）将y(x)在x=xk+1处展开,令x=xk，则,只保留h的线性项，得,隐式Euler公式,为一阶方法！,（7）,局部截断误差为（假设yk准确）,2020/5/11,14,3）（6）-（7）可得,保留h的线性项，得,梯形公式，隐式格式,（8）,2020/5/11,15,二阶方法！,局部截断误差（假设计算yk+1用到的信息是准确的）：,2020/5/11,16,4）将y(x)在x=xk处展开，得,保留h的线性项，得,Euler两步法，显式方法，二阶方法！,（9）,（6）-（9），得,返回,2020/5/11,17,改进的Euler公式,由Euler公式和梯形公式结合构成预报校正系统：,返回,可以证明，改进欧拉公式为二阶方法！（留给读者）,2020/5/11,18,总结,显式欧拉法1、显式欧拉法是一阶收敛的算法；2、显式欧拉法计算简单；3、显式欧拉法对函数的光滑性要求不高；4、显式欧拉法也形象地称为折线法。隐式欧拉法1、隐式欧拉法是一阶收敛的算法；2、隐式欧拉法每步需解非线性方程；3、隐式欧拉法对函数的光滑性要求不高。,2020/5/11,19,返回,收敛阶的提高需要更多函数值计算！,2020/5/11,20,1、龙格-库塔法的设计思想,平均斜率,Euler公式,隐式Euler公式,龙格-库塔法是一类高精度的单步法!,由牛顿-莱布尼兹公式，我们知道,通过对K*取不同的近似，可以得到不同的计算公式！例如,2020/5/11,21,龙格-库塔法的基本设计思想：,在xk,xk+1内多预测几个点的斜率，然后取其加权平均作为K*的近似，以构成具有较高精度的计算公式！,改进的Euler公式,返回,2020/5/11,22,2、龙格-库塔法的设计方法,（1）一级龙格-库塔法(1阶方法),其一般形式为,确定参数使得其收敛阶最高！,由y(xk+1)在x=xk处的泰勒展开式,可知方法(10)的局部截断误差为,(10),可见=1时，(10)的局部截断误差最小，为O(h2)。,2020/5/11,23,所得一阶龙格-库塔公式为,Euler公式,（2）二级龙格-库塔法(2阶方法),在xk,xk+1内任取一点,记xk,xk+p两点的斜率分别为K1,K2，令,则有如下二级龙格-库塔方法：,(11),2020/5/11,24,由y(x)在x=xk处的Taylor展开式,下面利用Taylor展开确定参数,可得如下具有二阶精度的计算公式,(12),2020/5/11,25,联系二阶龙格-库塔公式(11)，有,将K1,K2代入(11)式，可得,与(12)式比较可知，当,二阶龙格-库塔方法(11)，有二阶精度！,2020/5/11,26,特别若取,二阶龙格-库塔方法(11)就是改进Euler法！,若取可得,中点公式,返回,休恩方法,若取,2020/5/11,27,m级龙格-库塔法的一般形式：,3、常用龙格-库塔方法,2020/5/11,28,经典四级四阶龙格-库塔方法,2020/5/11,29,龙格-库塔法总结,m级龙格-库塔法的收敛阶至多为m；当级数4时，收敛阶数等于级数；由于龙格-库塔法的推导基于Taylor展开，因此它要求所求解具有较好的光滑性质；,返回,2020/5/11,30,1、精度的控制,以Euler法为例，其局部截断误差为O(h2)，则有,因此可以由步长减半前后两次计算结果的绝对（相对）误差作为精度控制条件，亦即步长是否选择合适的判断依据！,返回,2020/5/11,31,2、步长的自动选择,若求满足精度要求的数值解，则,1）若，则将步长反复减半，直至为止！此时的数值解即为所求结果；,2）若为止！此时再将步长折半一次，即为所求结果；,返回,易见，每一步计算，步长越小，截断误差就越小，但是，随着步长的减小，计算步数增加，这不但导致计算量的增加，而且可能导致舍入误差的严重积累。因此我们要选择合适的步长，在满足精度要求的前提下，计算量尽量小。,2020/5/11,32,1、收敛性简介（以显式Euler格式为例）,如果对任意固定的，数值解当（）时趋于准确解，则称该算法是收敛的。,为理解收敛性的含义，仅考察下列模型方程,对于Euler格式，上述问题的Euler格式具有形式,从而数值解,因此当时,即Euler法收敛！,返回,这样做的根据是：1）对试验模型不收敛的方法，不可用；2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。,单步法收敛的充要条件为收敛阶p1。,2020/5/11,33,我们称算法是稳定的，如果在节点值上有大小为的扰动，而以后各节点值上产生的偏差值均不超过。,2、稳定性简介,考察下列试验模型方程,进一步，若以后各节点产生的误差趋于零，则称算法是绝对稳定的。,1）对试验模型数值不稳定的方法，不可用；2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。,2020/5/11,34,对于Euler格式，上述模型方程的Euler格式为,当选择h使得时，Euler格式绝对稳定！,其绝对稳定区域为,（1）显式欧拉法,2020/5/11,35,对于隐式Euler格式，上述模型方程的隐式Euler格式为,显然绝对稳定区域为,解出yk+1，有,（2）隐式欧拉法,2020/5/11,36,（3）梯形公式,2020/5/11,37,（4）改进欧拉法,2020/5/11,38,（5）经典四级四阶龙格-库塔法,返回,2020/5/11,39,单步法小结1、单步法计算格式简单，是自开始的算法。2、步长h的选择原则上受到两个条件的限制:一是要保证算法收敛，二是要保证算法稳定。3、单步法的显格式绝对稳定区间相对比较窄，而隐格式绝对稳定区间相对比较宽，有的可是A-稳定的。4、显式算法没有A-稳定的，高于二阶的隐式算法也没有A-稳定的。5、利用隐格式绝对稳定区间相对比较宽的特点,可有效得到刚性问题的解。,返回,2020/5/11