math-chap6-6.离散数学_群

庄伯金bjzhuang,1,第六章,典型代数系统,庄伯金bjzhuang,2,主要内容,半群的概念与性质群的概念与性质环的概念与性质域的概念,庄伯金bjzhuang,3,半群的概念,定义：设代数系统V=，为A上的二元运算，若满足结合律，则称V为半群。半群由一个集合与一个二元运算组成；满足结合律；若半群满足交换律，则称为可交换半群。定义：设V=为半群，若该半群中的二元运算含有幺元e，则称V为含幺半群或幺群或独异点。记作若含幺半群满足交换律，则称为交换幺群。,庄伯金bjzhuang,4,循环幺群,定义：为幺群，若存在一个元素gA，使得对任意的aA，都有a=gn成立，则称为循环幺群，并且称g是A的一个生成元。定理：循环幺群是可交换幺群。,庄伯金bjzhuang,5,子半群与子幺群,定义：设为半群，BA，运算在B中封闭，则称为的子半群。定义：设为幺群，BA，运算在B中封闭，且eB，则称为的子幺群。定理：设f为代数系统到的满同态，则有：若为半群，则也是半群；若为幺群，则也是幺群。,庄伯金bjzhuang,6,群的定义,定义：设是代数系统，为二元运算。如果可结合，存在单位元eG，且对G中任何元素x，都有x-1G，则称G为群。若群G是有穷集，则称G为有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶；只含单位元的群称为平凡群；若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或Abel群。,庄伯金bjzhuang,7,群的性质,定理：设G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有且仅有一解。定理：设G为群，则对a,b,cG，有若ab=ac，则b=c；若ba=ca，则b=c。定理：设G为群，a,x,yG，且xy，则axay。,庄伯金bjzhuang,8,子群的定义,定义：设G是群，H是G的非空自己，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记作HG。若H是G的子群，且H为G的真子集，则称H为G的真子群，记作HG。判定定理：设G为群，H为G的非空子集，则H是G的子群当且仅当a,bH有ab-1H。判定定理二：设G为群，H为G的有穷子集，则H是G的子群当且仅当a,bH有abH。,庄伯金bjzhuang,9,循环群,定义：若G是群，若存在aG，使得G=ak|kZ。则称G是循环群，记作G=，称a为G的生成元。n阶循环群无限循环群定理：设G=是循环群若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a与a-1；若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元。对于任何小于等于n，且与n互质的数r，ar是G的生成元。例：,Klein四元群,G=a,b,c,e,满足：a*a=b*b=c*c=e*e=e;a*b=c,b*c=a,c*a=b;e为幺元；*可交换。则称为Klein四元群。,庄伯金bjzhuang,10,庄伯金bjzhuang,11,置换群,定义(置换)：设S=1,2,.,n，S上的任何双射函数:SS称为S上的n元置换。记为：,定义：设和是n元置换，则和的复合也是n元置换，称为和的乘积，记作。问题：运算的单位元？置换的逆如何求？,庄伯金bjzhuang,12,置换群,定义：设是S上的n元置换，若(i1)=i2,(i2)=i3,.,(ik)=i1且S中其他元素保持不变，则称为S上的k阶轮换，记作(i1i2.ik)。2阶轮换也称为对换。例：,庄伯金bjzhuang,13,置换群,定理：任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。定理：任何n元置换都可以表示成对换之积。定义：Sn为S上所有的n元置换所构成的集合，定义二元运算为两个n元置换的乘积，则称为S上的n元对称群，Sn的任何子群称为S上的n元置换群。,庄伯金bjzhuang,14,环,定义：设是代数系统，+和*是二元运算，如果满足以下条件：构成交换群；构成半群；*运算关于+运算适合分配律。则称是一个环。+运算的单位元记作0，*运算中的单位元记作1。a*0=0*a=0,庄伯金bjzhuang,15,环,定义：设是环若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环。若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环。若a,bR，ab=0a=0b=0，则称R是无零因子环。若R既是交换环、含幺环、也是无零因子环，则称R是整环。,庄伯金bjzhuang,16,子环,定义：设R是环，S是R的非空子集，若S关于环R的加法和乘法也构成一个环，则称S为R的子环。子环判定定理：设R是环，S是R的非空子集，若a,bS，a-bS；a,bS，abS。则S是R的子环。,庄伯金bjzhuang,1