哈尔滨工业大学02结构力学-矩阵位移法.ppt

结构力学,2/55,第六节连续梁受力分析,目标：建立整体刚度方程,按自然位置选每跨为一个单元。分别给单元和结点编号。,选基本未知量为支座转角位移，它们可以用基本结构中的附加约束加以指定，组成整体结点位移向量，附加约束力向量P。,结点位移：,结点力：,3/55,第六节连续梁受力分析,连续梁的特点：,形成整体刚度方程的具体做法有两种：,区别仅在于形成总刚的方法不同,传统位移法：考虑每个结点位移单独引起的结点力；单元集成法：分别考虑每个单元对结点力的贡献。,每个结点只有一个位移分量；各单元可采用统一坐标。,4/55,第六节连续梁受力分析,传统位移法：,考虑每个结点位移单独引起的结点力,5/55,第六节连续梁受力分析,整体刚度矩阵,6/55,第六节连续梁受力分析,对于复杂结构，传统位移法将非常繁琐且不宜模式化，为使计算过程纳入一种统一的模式，一般均采用单元集成法，或称直接刚度法。,总码,局码,单元集成法：分别考虑每个单元对结点力的贡献,7/55,第六节连续梁受力分析,结点力平衡结点位移协调,牛顿第三定律,8/55,第六节连续梁受力分析,单元集合时应满足位移协调条件,单元集合时应满足结点平衡条件,单元刚度方程通式：,e=1,2,9/55,第六节连续梁受力分析,把局码表示的单刚用总码表示（换码扩阵）,单元对整体刚度矩阵的贡献，称贡献矩阵,10/55,第六节连续梁受力分析,由结点间的平衡条件，计算单元杆端力并叠加（集成）,整体刚度矩阵,与传统位移法推导的结果一致,11/55,第六节连续梁受力分析,解:1.离散化,2.计算总刚，总荷,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构。,12/55,第六节连续梁受力分析,解:1.离散化,2.计算总刚，总荷,3.解方程，求位移,13/55,第六节连续梁受力分析,解:1.离散化,2.计算总刚，总荷,3.解方程，求位移,4.提取单元结点位移,14/55,第六节连续梁受力分析,解:1.离散化,2.计算总刚，总荷,3.解方程，求位移,4.提取单元结点位移,5.求杆端力并绘内力图,15/55,第六节连续梁受力分析,多跨连续梁的总刚方程,写出单元刚度方程,e=1,2，n-1,16/55,第六节连续梁受力分析,将离散单元集合时应满足位移协调条件,j=2,，n-1,将离散单元集合时应满足结点平衡条件,j=2,，n-1,17/55,第六节连续梁受力分析,换码集成,18/55,第六节连续梁受力分析,在整体刚度方程的形成过程中要反映边界约束的影响，这种影响可在形成整体刚度方程前引入，亦可在整体刚度方程生成后引入，因而有后处理法和先处理法之分。,边界条件的引入,后处理法是在形成整体刚度方程后引入边界条件对整体刚度方程进行处理。该法使每个结点位移分量数均相等；每个单刚阶数相同；总刚的阶数是结点数的倍数。这些特点便于编制通用程序。但解中会有一些已知位移分量（支座信息、协同信息等）。这种方法适合于结点多、约束少的结构，很方便计算约束力。,先处理法是在计算单刚时就把处于边界的单元处理成约束单元，这样形成的总刚只含未知位移量，减少了计算存储量。该法使单刚的阶数可以不同，结点力向量不含约束力，总刚已考虑了边界条件；对多类型单元便于处理。但约束力的计算复杂一些。,19/55,第六节连续梁受力分析,位移边界条件处理（后处理法）,整体刚度方程,P1和P4成未知的约束反力偶,20/55,第六节连续梁受力分析,求方程之前要对矩阵重新排列，分组分块，分为自由结点一组F和约束结点一组R,从而可求出F和PR,该方法改变了刚度方程的排列顺序，破坏了刚度矩阵的带形特征，仅适合于手算。电算应避免改变原行列位置。,21/55,第六节连续梁受力分析,整体刚度方程边界处理的一般方法,设第i个结点位移受到刚性支座约束，为保证求解出的i=0，且不破坏刚阵的对称、稀疏性，需对刚度方程进行处理。,22/55,第六节连续梁受力分析,1、引入刚性支座i=0,具体做法：把整体刚度矩阵的主对角元素Kii改为1，相应第i行第i列其余元素为0，荷载项也修改Pi=0。,处理方法1：置0置1法,23/55,第六节连续梁受力分析,处理方法2：置大数法,具体做法：把整体刚度矩阵的主对角元素Kii乘一个很大的数G(G通常比Kii大6个数量级以上)，其它各元素皆不变。,24/55,第六节连续梁受力分析,对题例进行处理,25/55,第六节连续梁受力分析,2、引入已知支座位移值i=b,处理方法1：置0置1法,处理方法2：置大数法,26/55,第六节连续梁受力分析,这种先集成总刚方程，再处理支承条件的做法称为后处理法,采用置1法或大数法引入支撑条件，并不改变刚度方程的排列顺序，保证了刚度矩阵的对称性和带形特性，修改后的方程组与原方程组是同解的，且程序简单。,27/55,第六节连续梁受力分析,解：后处理法（1）,1,0,0,0,0,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构（后处理法）。,0,28/55,第六节连续梁受力分析,后处理法（2）,第三个方程变为:,8G,29/55,第六节连续梁受力分析,在总刚集成时就利用定位向量的零位移信息摒弃单刚中的一些元素，引导未知位移对应的元素进入总刚方程，使得方程中只包含未知结点位移，方程形式紧凑。这种在总刚生成前即引入边界条件的处理方法称为先处理法。,30/55,第六节连续梁受力分析,i2,i1,i3,31/55,第六节连续梁受力分析,R3由传递系数定义得到,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构（先处理法）。,解：,32/55,第六节连续梁受力分析,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构（后处理法）。,解：,1,0,0,0,0,0,0,33/55,第六节连续梁受力分析,M,1/2,1,2,1,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构。,34/55,第六节连续梁受力分析,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构（先处理法）。,解：,M,1/2,1,2,1,35/55,第六节连续梁受力分析,练习：用矩阵位移法计算图示连续梁结构。,36/55,第六节连续梁受力分析,练习：推导图示单元的单刚。,37/55,第六节连续梁受力分析,4.思考题(1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵?(2).荷载不作用于结点上时怎么办?(3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?,练习：计算图示梁总刚中元素(采用后处理法),38/55,第六节连续梁受力分析,有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是由离散单元在结点处连接拼装而成。而把作用在结构上的荷载统统考虑作用在结点上。然而无论是恒载还是活载，常常是分布作用在单元上。下面将讨论如何将这种非结点荷载处理成某种结点荷载,等效结点荷载,方法1是把分布荷载改用若干集中荷载代替，并把集中荷载的作用点选作结点(结点位移数增加，工作量加大)方法2等效结点荷载法（是目前通用的处理方法）。,对这种非结点荷载的处理,等效是指静力等效，即指原荷载作用引起的结点位移与等效荷载引起的结点位移相等。,39/55,第六节连续梁受力分析,结点位移相等,考察一连续梁,40/55,第六节连续梁受力分析,原结构(A)受直接结点荷载和非结点荷载作用，在结点产生位移，各单元产生相应的变形和内力。将原图在荷载作用下的变形过程分解为两步：(B)+(C),(B)固定结点(结点位移为零)，使每个单元都是两端固定杆；然后将非结点荷载施于单元上，此时杆端产生固端反力Ff，从而结点附加约束上的总反力FP应等于汇交于结点处各单元固端反力的总和.,41/55,第六节连续梁受力分析,(C)撤消附加约束，相当于在结点处施加一与总反力FP大小相等、方向相反的结点力PE=FP。,两步作用的叠加的效果与原问题完全相同。从变形角度看：(A）=（C）从内力角度看：（A）=（B）+（C）,42/55,第六节连续梁受力分析,求解(B)时，只须求出各离散单元的载常数，即固端力Ff，然后求结点总反力；求解(C)时，只须考虑原结点荷载PD和结点力PE=FP（即等效结点荷载）,43/55,第六节连续梁受力分析,基本思路,固端力（由载常数获得）,局部座标系下的单元等效杆端力,整体座标系下的单元等效杆端力,等效结点力,44/55,第六节连续梁受力分析,计算时注意以下几点：对计算结点位移而言,PE与原非结点荷载等效，由此可以断定，在综合结点荷载作用下求得的即是结点的实际位移。有非结点作用的单元杆端力，可以由两部分叠加而得，一部分是固端力，另一部分是结点位移产生的杆端力。,45/55,第六节连续梁受力分析,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构。,46/55,第六节连续梁受力分析,由单元等效结点荷载“对号入座”可形成结构等效结点荷载,综合结点荷载,47/55,第六节连续梁受力分析,解:,1.离散化,2.求总刚,例题：用矩阵位移法计算图示连续梁结构（后处理法）。,48/55,第六节连续梁受力分析,解:,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,49/55,第六节连续梁受力分析,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,4.边界条件处理,5.解方程,50/55,第六节连续梁受力分析,1.离散化,2.求总刚,3.求总荷,4.边界条件处理,5.解方程,6.求杆端力,7.作弯矩图,1.29,27.43,19.43,9.71,弯矩图,51/55,第六节连续梁受力分析,无结点线位移的刚架计算,解:,1.离散化,2.