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第十四次课教案第四章 矩阵的特征值第二节 相似矩阵及矩阵对角化【教学目的要求】理解相似矩阵的概念，掌握将实对称矩阵化为对角阵的方法【教学重点、难点】教学重难点：利用相似变换将方阵对角化的方法【教学手段】讲授法、启发、讨论方式【教学过程】4.2 相似矩阵和矩阵对角化的条件一、相似矩阵及其性质定义1 设A与B都是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B= P1A P， 则称A与B是相似的，记作AB相似是同阶矩阵间的一种等价关系，即这种关系具有以下性质：1反身性：任意一个方阵A，都有AA2对称性：若AB，则BA3传递性：若AB，BC，则AC此外，相似矩阵还有下列简单性质1若AB，则|A|=|B|2若AB，则A和B有相同的特征值3相似矩阵或都可逆或都不可逆，当可逆时，他们的逆矩阵也相似。二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件从上面的讨论可以看出，相似矩阵有一些共同的性质，因而我们提出这样一个问题，对给定的n阶矩阵A，P1AP的最简形式如何，这就是矩阵A的相似标准形若A相似于对角矩阵，则称A可以对角化定理1 n阶矩阵A与n阶对角矩阵D=相似的充分必要条件是，A有n个线性无关的特征向量证明 必要性若A ，则存在可逆矩阵P，使P1AP=将P按列分块P=(a1，a2，an)于是有A(a1，a2，an)= ( a1，a2，an) 由矩阵分块乘法 (Aa1，Aa2，Aan)=(l1a1，l2a2， ，lnan)Aai=liai (i=1，2， ，n)因为P可逆，a1，a2， ，an线性无关，因此，A有n个线性无关的特征向量充分性设a1，a2， ，an分别是A的属于特征值l1，l2， ，ln的特征向量，则有Aai=liai (i=1，2， ，n)因为a1，a2， ，an线性无关，所以矩阵P=(a1，a2， ，an)可逆AP=A(a1，a2， ，an) =(Aa1，Aa2，Aan) =(l1a1，l2a2， ，lnan) =(a1，a2， ，an) =P 因此，P1AP= 推论 若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A相似于对角矩阵注：推论是A可对角化的充分条件而不是必要条件定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值liP，矩阵liEA的秩是nni(证明略)在前面5.1的例4中A=的特征值l1=2，l2=l3=1，1是A的二重特征值r(EA)=2，但32=1，二者不同，所以A不与对角矩阵相似为了有时应用方便，再给出一个矩阵可对角化的方法首先有定理3 设l1，l2，lm是数域P上的n阶矩阵A的不同特征值设ai1，ai2，是A的属于li的线性无关的特征向量，则向量组ai1，ai2，am1，是线性无关的(证明略)例如在5.1例子4中的所有不同特征值l为：2，1对于l2，(2EA)X=0的基础解系是对于l1，(2EA)X=0的基础解系是显然a1，a2线性无关若a3是A的任一特征向量，则a3或者是A的属于l2的特征向量，或者是属于l1的特征向量因此，a1，a2，a3一定线性相关A不可能有三个线性无关的特征向量，所以A不能相似于对角矩阵由定理3 可得到判定一个矩阵A是否可对角化的方法第一步 求出A的所有不同的特征值l1，l2，ls第二步 求出(liEA)X=0的基础解系(i=1，2，s)设 依次为a1，a2，at1，b1，b2，bt2，n1，n2，ntk若 t1+t2+ttk=n则A可对角化若 t1+t2+ttkn，则A不能对角化