《D24收敛准则》PPT课件

,第二章,收敛准则,第四节,极限存在准则,单调有界原理,夹逼准则,二、致密性定理,一、闭区间套定理,三、Cauchy收敛原理,四、实数系基本定理,定义：,若数列,满足,则称数列,为单调递减(增)数列。,定理：,单调有界数列必有极限。,证：,不妨设,单调递增且有界，,则,有上确界，,则对,使得,又数列单调增，,有,即数列,收敛，,且有,例设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,例设,证明数列,极限存在.,证:利用二项式公式,有,大,大,正,又,比较可知,根据准则2可知数列,有极限.,又,记此极限为e,即,e为无理数,其值为,此极限重要，可用其求很多类型极限。,例,求下列极限：,答案:,例设,证明此数列收敛，,并求此数列极限。,解：,由已知可知,且当,时有,又,即当,时,具有相同符号，,从而数列单调有界。,则对等式,两边取极限并记,解得方程的根为,由,舍去负值可得,例,证明此数列收敛，,并求此数列极限。,解：,由数学归纳法可得对一切正整数n有,即数列单调减少有下界，故收敛。,设极限为a，对已知等式两边取极限得,解得a=0.,于是得到,关于数e的一些注记,注：,证明：,由Riemann的证明知：,数列,以3为上界。,又此数列严格单调增，,故此数列必有极限，记为s。,可知有：,再固定任意自然数m，令nm，有,令,可得：,再由m的任意性可知有,因此有s=e.即,上式也称为e的无穷级数展开式。,注：,则有,证明：,则当,时分子分母都趋于0，,此时可利用,型Stolz定理有：,由此可知所求极限为1。,数e的引入和研究是一个重要范例，这说明通过极限,理论可以发现新的数。,不过由于这些数是通过极限,定义的，,因此研究起来并不容易。,例如：,虽然现在已经可以证明e和都是无理数，,但迄今为止还没有能证明e+是无理数。,通过极限定义的数还有Euler常数,Euler常数,证明数列,收敛，,其中,提示：,利用不等式,此不等式可由,取自然对数得到。,证明：,即数列单调减。,再由,不等式两边相加后有,即有,因此数列单调下降且有下界，,故必有极限。,此极限称为Euler常数，,记为,目前一个悬而未决的问题是Euler常数是否无理数？,也有人称Euler常数是“最大的谜”。,设一闭区间套列,满足,则存在唯一实数,属于所有闭区间且,证:,由条件(1),单调增有上界，,单调减有下界，,故,都收敛。,设,则有,由于,是,的上确界，,的下确界，,故有,属于所有闭区间。,即,一、闭区间套定理,属于所有闭区间，,则也有,由夹逼定理有,即闭区间内公共点是唯一的。,注：,将定理中闭区间改为开区间，定理不成立。,例如：,推论：,对闭区间套,内公共点,有：,若另有实数,定义：,设,是数列，,是正整数集的无限子集，,且,则数列,称为数列,的一个子列。,注意：,1.,的子列,的各项都选自,2.子列中各项顺序与原数列中顺序一致。,*,定理：数列收敛的充要条件是任一子数列收敛.,证:必要性：设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,充分性：,取数列自身为子列即可。,例证明数列,发散。,证：,取偶数项构成子列,易知其极限为1。,取奇数项构成子列,易知其极限为1/3。,即该数列存在两个不收敛于同一极限的子列，,故该数列发散。,有界数列必有收敛子列。,证明：,设数列,有界，则,(1).若数列中有无穷多个相等的项，,则由这些项,可构成一收敛的常数列。,(2).若数列中不含无穷多个相等的项，,由数列有界，,Bolzano-Weierstrass定理：,属于实数使得,如下构造闭区间套：,根据闭区间套定理，,存在实数,满足,现在,选取,某一项记为,再在,选取,某一项记为,依次进行下去得,的一个子列,满足,由,根据夹逼定理有：,即有界数列必有收敛子列。,推论：,若,是一个无界数列，,则存在子列,使得：,注：,Bolzano-Weierstrass定理也称致密性定理。,柯西收敛原理,数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数N,使当,时,证:“必要性”.,设,则,时,有,使当,因此,有,“充分性”.,先证,有界。,由题设，,令,则对一切n有,则由致密性定理，,在,中有收敛子列：,即,又,令k充分大满足,则此时有,即,极限存在。,注：一般将满足Cauchy收敛原理条件的数列称为,基本数列。,因此Cauchy收敛原理又可写成：,数列,收敛的充要条件是,是基本数列。,例,设数列,满足压缩性条件,则,收敛。,证：,由于对一切n，有,设mn，有,从而,是基本数列，,故数列收敛。,例,设,证明,收敛。,证：,由,故此数列亦为基,本数列，,因此数,列收敛。,例设数列,证明此数列收敛。,证：,由数列,使得,所以对,即数列收敛,注：,由实数构成的收敛数列必有实数极限，,这一性质,称为实数的完备性。,实数系基本定理,确界存在定理,单调有界数列收敛定理,闭区间套引理,致密性定理,柯西收敛原理,实数系的连续性,实数系的完备性,？,定理：实数系的完备性等价于连续性。,证：,第一步:柯西收敛原理,闭区间套定理,设,是一列闭区间且满足,(i),(ii),设mn,有,即数列,满足柯西收敛原理，,从而有,由此有,又由,单调增，,而,单调减，,可知,是属于所有闭,区间,的唯一实数。,即闭区间套定理成立。,第二步:闭区间套定理,确界存在定理,设S是非空有上界数集，,T是S所有上界组成集合。,现证T含最小数，即S有上确界。,取,如下构造闭区间套：,这样得到一闭区间套,满足,由闭区间套定理知：,存在唯一实数,属于所有闭区间,且有,现证,就是S的上确界。,若,即,不是S的上界，,又由,有，,当n充分大时成立,这与,矛盾，,故,又若,则由,当n充分大时,又由,这与,矛盾，,注：,以上五个定理等价，即从任何一个可推出其他定理，,故五个定理中的每一个都可称为实数系基本定理。,内容小结,1.极限存在准则II:,单调有界数列必有极限。,2.一个重要极限：,1.闭区间套定理。,2.致密性定理(Bolzano-Weiestrass定理)。,3.Cauchy收敛原理。,4.实数系基本定理。,作业P681(4)(5),2(4),4,10,13,例设,证明数列,极限存在.,证1:(Riemann)利用二项式公式,有,大,大,正,又,比较可知,根据准则2可知数列,有极限.,又,证2:利用平均值不等式,有,即数列,单调增。,再利用平均值不等式，,即数列,单调减，,以每一个,为下界。,数列,以每一个,为上界。,根据准则2可知数列,有极限.,引入新数列,证3:(利用Bernoulli不等式),注意到Bernoulli不等式,(x-1,n为正整数),有,继续变形得,由,利用Bernoulli不等式,即数列单调递增。,为证数列,上方有界，,与证2类似，引入新数列,同样可证新数列单调减。,即数列,单调减，,从而有对任意n,由此知数列,有极限。,证4：先证对,和正整数n有不等式：,事实上,此不等式又可变形为：,我们取,则恰好有,即数列单调