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,*第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件的证明,机动目录上页下页返回结束,二元函数的泰勒公式,第八章,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,机动目录上页下页返回结束,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,机动目录上页下页返回结束,表示,表示,定理1.,的某一邻域内有直,到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项.,机动目录上页下页返回结束,证:令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,机动目录上页下页返回结束,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,机动目录上页下页返回结束,说明:,(1)余项估计式.,因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界M,则有,机动目录上页下页返回结束,(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域D上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,机动目录上页下页返回结束,例1.求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,机动目录上页下页返回结束,其中,机动目录上页下页返回结束,时,具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2(充分条件),机动目录上页下页返回结束,证:由二元函数的泰勒公式,并注意,则有,所以,机动目录上页下页返回结束,其中,是当h0,k0时的无穷小量,于是,(1)当ACB20时,必有A0,且A与C同号,可见,从而z0,因此,机动目录上页下页返回结束,从而z0,(2)当ACB20时,若A,C不全为零,无妨设A0,则,时,有,异号;,同号.,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,机动目录上页下页返回结束,+,+,若AC0,则必有B0,不妨设B0,此时,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB20时,若A0,则,若A0,则B0,为零或非零,机动目录上页下页返回结束,此时,因此,
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