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文档简介

,几种特殊类型函数的不定积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,1.假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,做法：(1)长除；(2)恒等变形。,有理函数的代数性质,2.真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式(或称部分分式)是指下面四种形式的分式：,n=2,3,4,其中A,B,C,a,p,q为常数，无实根，所以它不能在实数域中分解为两个因式的乘积。,真分式化为简单分式之和的方法是：,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理真分式化为简单分式之和：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,总之，如果多项式Q(x)在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如,那么真分式可以分解成如下部分分式之和：,+,+,+,其中都是待定常数.,称为真分式化为简单分式之和的待定系数法,真分式化为简单分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将值代入,例2,真分式化为简单分式之和的待定系数法,例3,整理得,例4求积分,解,例5求积分,解,简单分式的积分：,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,令,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,例6求积分,例6求积分,解,令,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7求积分,解,由万能置换公式,例8求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,例9求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10求积分,解令,三、简单无理函数的积分,例11求积分,解令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,例10,解,例11,解,例12求积分,解,先对分母进行有理化,原式,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,四、小
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