1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质ppt课件

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质,1.定义域和值域,正弦函数,定义域：R,值域：-1，1,时，取最大值1；,时，取最小值1；,正弦函数的图象,1.定义域和值域,余弦函数,定义域：R,值域：-1，1,余弦函数的图象,时，取得最大值1.,时，取得最小值-1.,2.周期性7,思考1：观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现.,.,2,其理论依据是什么？,诱导公式：,f(x+2k)=f(x),这就是说：当自变量x的值增加到x+2k时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期(其中kz且k0).,思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？,思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？,【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？4,答：周期函数的周期不止一个.2，4，6，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kz且k0)都是它的周期.,【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.,思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？,例如：f(x)=c(c为常数）,否,所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数.,思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,根据上述定义，我们有正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.类似地，余弦函数的周期性是什么样的呢？余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.,例1求下列函数的周期：y=3cosx,xR;y=sin2x,xR;y=2sin(-),xR;,即3cos(x+2)=由周期函数的定义可知，原函数的周期为2,【解】,y=cosx的周期为，所以自变量x只要并且至少需要增长到x+,余弦函数的值才会重复取得.,3cosx,y=sin2x,xR;,解:令z=2x，那么xR必须并且只需zR，且函数y=sinz，zR的T=.即变量z只要并且至少要增加到z+，函数值才能重复取得，而z+=2x+=2（x+）故变量x只要并且至少要增加到x+，函数值就能重复取得，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.,y=2sin(-),xR;,所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为,解：令，那么xR必须并且只要zR，且函数y=2sinz，zR的T=，由于。所以自变量z只要并且至少要增加到z+，函数值才能重复取得，即T=,由上例知函数y=3cosx的周期T=2；函数y=sin2x的周期T=；函数y=2sin(-)的周期T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？,仅与自变量的系数有关,函数，令，那么xR必须并且只需zR，且函数y=Asinz，zR的T=.即变量z只要并且至少要增加到z+，函数值才能重复取得，而z+=故变量x只要并且至少要增加到x+，函数值就能重复取得，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.,一般地，三角函数,如果函数的周期是T，那么函数的周期是,的周期：,的周期：,解：,例2：试判断函数是否为周期函数？,周期为,三角函数周期的主要求法,1、定义法：2、公式法：3、图象法,正弦函数的图象,余弦函数的图象,问题：它们的图象有何对称性？,3.奇偶性,正弦曲线关于原点O对称奇函数,余弦曲线关于y轴对称偶函数,3.奇偶性,为奇函数,为偶函数,思考：能否从奇偶性定义出发，证明这个判断的正确性？,判断奇偶性,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.首先检查其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性；如果不是，就是非奇非偶函数.,正弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,余弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,例题,求函数的对称轴和对称中心,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,y=sinx(xR),0.,-1,0,1,0,-1,4.正弦函数的单调性,y=sinx,增区间为，其值从-1增大到1,减区间为，其值从1减小到-1,4.余弦函数的单调性,y=cosx(xR),增区间为,减区间为,其值从-1增大到1,其值从1减小到-1,思考：,正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法正确吗？不正确。正弦函数在每个闭区间上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数。余弦函数在每个闭区间上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数。,正弦函数的最大值和最小值,5.最大值和最小值,正弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最小值-1；,余弦函数的最大值和最小值,5.最大值和最小值,余弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最小值-1；,例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？,使函数取得最大值的x集合,就是使函数取得最大值的x的集合,解：,使函数取得最小值的x集合,就是使函数取得最小值的x的集合,函数的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0,使函数取得最大值的x的集合是,同理，使函数取得最小值的x的集合是,分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成