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,第九章,数量值函数的积分学,一、二重积分,二、三重积分,三、对弧长的曲线积分,四、第一类曲面积分积分,五、数量值函数积分学的应用,第九章第一节,二重积分,本节的主要内容,一、问题的提出；,二、二重积分的定义；,三、二重积分的性质.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,求曲顶柱体的体积,特点：平顶.,一、问题的提出,播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积:,曲顶柱体的体积为:,(1)先把曲顶柱体的底区域D任意分割为n个小区域,求平面薄片的质量,(2)取任意小块，将其近似看作均匀薄片，,(3)所有小块质量之和近似等于薄片总质量,(1)将薄片分割成若干小块,区域D分割为n区域:,二、二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,物理意义:平面薄板的质量.,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,思考题：根据二重积分的几何意义计算积分,性质,当为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,（性质1、2称为积分的线性性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,（不等式性质）,推论：,性质,（二重积分估值不等式）,性质,（二重积分中值定理）,性质8,D,解,解,解,解,解,（1）先画出积分区域的图形,小结,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,二重积分的物理意义,（平面薄板的质量）,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,由于,练习题,练习题答案,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割
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