二重积分基础数学资料.ppt

第一节二重积分的概念和性质,1、问题的提出2、二重积分的概念3、二重积分的性质4、二重积分的几何意义,第七章二重积分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,1、问题的提出,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似曲顶柱体的体积，,曲顶柱体的体积,先分割曲顶柱体的底，,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,2、二重积分的概念,性质,性质,（与定积分有类似的性质）,3、二重积分的性质,性质,性质,4、二重积分的几何意义,例求,答案：2,例求二重积分,，其中区域,为直线,答案：4,答案：,答案：,第二节二重积分的计算,二重积分的几何意义,该曲面向xoy面的投影,等于以曲面,柱面作为侧面的曲顶柱体的体积.,作为顶、D作为底，,计算二重积分,利用几何意义,即求曲顶柱体的体积.,我们计算二重积分，首先要考虑积分,区域的特征，其次需要考虑被积函数,的特点，在积分区域中，最简单的积,分区域是矩形域。目的都是将二重积分,转化为二次积分即两个定积分来计算。,一、在直角坐标系下计算,1、积分区域为矩形域,答案：,二重积分的计算(D是矩形区域),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域a,b;c,d,z=f(x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域a,b;c,d,z=f(x,y),问题：Q(y)是什么图形？,Q(y)=,是曲边梯形。,.,二重积分的计算(D是矩形区域),.,I,y,a,b,c,d,D,.,Q(y)=,I,同理，也可以先对y积分,.,.,z=f(x,y),D是矩形区域a,b;c,d,二重积分的计算(D是矩形区域),答案：,例计算二重积分,答案：,调用格式：计算二重积分symsxyint(int(二元函数,自变量1,下限,上限),自变量2,下限,上限),例求,输入：,symsxyint(int(x2+y2,x,-1,2),y,0,4),输出：ans=76,例计算下列立体的体积,解,2、积分区域为X-型区域,3、积分区域为Y-型区域,例计算二重积分,答案：,例求,输入：,symsxyint(int(2*x*y,x,y/2,y),y,0,2),输出：ans=3,所围成的区域。,例,解：,X-型,答案：,例计算其中D是由直线,解法1把D看成X型域,则,y=1,x=2及y=x所围区域.,解法2把D看成Y型域，则,要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.,4、改变二次积分的次序,由于按不同的积分次序会有不同的计算,繁杂程度，这就使得交换积分次序有时,成为必要。,例交换积分次序,例交换积分次序,D:,.,.,1,1,y=x,y=x2,.,例将二重积分换序,1,1,y=x2,D,2先对y积分（从下到上）,1画出区域D图形,3先对x积分（从左到右）,.,.,.,y=x,.,.,.,例用两种顺序计算,二、利用极坐标计算二重积分,积分区域：圆域、环域、扇形域时或,被积函数：,形式时，采用,极坐标往往较方便。,例求,输入：,symsrtint(int(r*exp(r2),r,0,1),t,0,2*pi),输出：ans=exp(1)*pi-pi,例计算二重积分,其中,是,例计算二重积分,其中,是圆环形闭区域：,解：,定积分应用部分例子,例求由抛物线,例求由抛物线,解,两抛物线的交点为(1,1