结构力学教学课件-09矩阵位移法

,1,基本概念,求解固体力学问题的方法解析法应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限；前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等适用于手算,只能分析较简单的结构。数值法应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于经典解答，求解范围广。以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。,理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机,杆件结构的有限元法,矩阵位移法,2,本章主要内容,结构的离散化与杆端力（位移）的表示方法；单元分析；整体分析；直接刚度法坐标变换；边界支承条件处理；非结点荷载的处理,矩阵位移法基本步骤:,1.化整为零-结构离散化,将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点，对单元和结点编码.,2.单元分析,单元杆端力,3.集零为整-整体分析,单元杆端位移,基本未知量:结点位移,单元刚度矩阵,建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系,4,指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量(平面结构杆件单元的一般情况),符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部坐标的坐标与杆轴重合；图(b)、(c)中杆端位移和杆端力均以坐标轴正向为正方向；转角和弯矩按照右手螺旋法则确定（图中顺时针为正方向）,1,2,EAI,l,(a),局部坐标单元编号杆端编号,1,2,(b),杆端位移,1,2,杆端力,(c),杆端位移、杆端力的正负号规定,一般单元：,（1）单元杆端位移向量,（2）单元杆端力向量,凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的；各元素按照先1端后2端并且依照顺序排列。,第9章矩阵位移法,9.2单元分析（单元刚度方程）,所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端内力间关系的方程。有两种处理方法：先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界条件先处理法的优缺点：k阶数低，不统一后处理法的优缺点：k阶数高，统一，但有较多的零元素。,第9章矩阵位移法,9.2.1轴力杆件单元,矩阵形式,若,9.2单元分析（单元刚度方程）,第9章矩阵位移法,(9.4),轴力杆件的单元刚度方程,轴力杆件的单元刚度矩阵,9.2.1轴力杆件单元,9.2单元分析（单元刚度方程）,9,第9章矩阵位移法,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析（单元刚度方程）,Fy1,Fy2,第9章矩阵位移法,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析（单元刚度方程）,Fy1,Fy2,杆端变形,杆端力,单元左端（1端）发生支座位移时,kij表示第j个杆端位移分量为1时引起的第i个杆端力分量的值,单元2端发生支座位移时,(d),kij表示第j个杆端位移分量为1时引起的第i个杆端力分量的值,单元1端发生单位转角时,(C),kij表示第j个杆端位移分量为1时引起的第i个杆端力分量的值,单元2端发生单位转角时,(e),第9章矩阵位移法,9.2.2平面弯曲杆件单元：杆端力表达式,9.2单元分析（单元刚度方程）,第9章矩阵位移法,（9.7）,9.2单元分析（单元刚度方程）,9.2.2平面弯曲杆件单元：矩阵形式,第9章矩阵位移法,（9.10）,单元刚度矩阵,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析（单元刚度方程）,1234,1234,每一列，对应单位变形时产生的杆端力,第9章矩阵位移法,单元刚度矩阵：(1)每一列都有明确的物理意义；(2)恒为对称矩阵；(3)是奇异矩阵，不存在逆阵。,反力互等定理,行列式等于零,无支承条件的自由杆件，在杆端力的作用下，除了弹性变形，还有刚体运动奇异矩阵,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析（单元刚度方程）,第9章矩阵位移法,9.2.3一般平面杆件单元,（9.13）（9.14）,第9章矩阵位移法,即单元的杆端力向量和位移向量分别为,刚度矩阵可以由轴力单元的刚度矩阵平面弯曲单元的刚度矩阵直接“装配”,（9.19）,（9.19）,（9.20）,（9.21）,将刚度矩阵分块，以便于使向量间的层次更加分明,k11e,k12e,k21e,k22e,123456,123456,例：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要获得杆端弯矩，刚度矩阵如何装配？,处理的方法：保留刚度矩阵的第3、6行和列即可。,26,123456,123456,又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力，刚度矩阵如何装配？,处理的方法：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划掉即可！（即为平面杆件单元）。,形成两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵（44阶）：（平面弯曲杆件单元）,28,123456,123456,同理：对于仅具有轴力杆件的单元刚度矩阵，刚度矩阵如何装配？处理的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。,第9章矩阵位移法,9.3整体分析（整体刚度方程）,化整为零,集零为整,结构离散化（单元及结点编号）单元分析,整体分析,所依据的力学准则“变形协调”&“静力平衡”（“物理条件”包含在刚度矩阵中）,第9章矩阵位移法,9.2结构的离散化与杆端力（位移）的表示,假定：采用等截面直杆单元，承受结点荷载（非结点荷载另行解决）离散化的基本原则（编码、标准坐标系的建立）：截面变化点；荷载作用点；结构转折处。,第9章矩阵位移法,首先用位移法解该题：,2、杆端弯矩：,1、未知量：,9.3整体分析（整体刚度方程）,3、建立方程：,4、解方程得：,5、回代得：杆端弯矩,把以上解题过程写成矩阵形式：1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）,1-2杆，单元,单元刚度方程,2-3杆，单元,3、位移法方程：,单元刚度方程,位移法方程写成矩阵形式：,整体刚度矩阵,4、解方程得：,5、回代得：杆端弯矩,结点荷载列阵,结点位移列阵,对号入座,根据全体结点的静力平衡条件，单元杆端力矩与结构结点荷载之间存在下列矩阵形式表达的关系：,9.4直接刚度法,