两直线的位置关系

两直线的位置关系,知识梳理：,一、直线与直线位置关系的确定：,1.两直线：和直线：,（1）,（2）,两直线垂直，若一直线斜率为0，则另一直线的斜率是否存在？,2.两直线：和：,这两种判断方法有优劣之分吗？,（1）,（2）,方程观点：联立两直线的方程二元一次方程组,方程组的解,注：有唯一解时，方程组的解即为交点坐标,二、两条直线的交点：,1、两点的距离公式：,2.点到直线的距离公式为：,3.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离为：,三、距离,(1)点关于点对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.,四、对称问题,（2）点关于直线对称由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点坐标.,（3）直线关于点对称，直线关于直线对称都可转化为点关于点、点关于直线对称的问题.,（4）两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论：点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)；点(x,y)关于直线x-y=0对称的点为(y,x)；点(x,y)关于直线x+y=0对称的点为(-y,-x).,要点探究,探究点1两直线的位置关系,探究点2距离问题,探究点3对称问题,若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求实数的值.,析：据对角互补的四边形有外接圆知，两直线垂直.,探究点1：两直线的位置关系,例1.,法一：据有，得，m=-5.,法二：据有，2m+(-5)(-2)=0得，m=-5.,用这些公式时，有要注意的地方吗？,1.这是一道已知两直线的位置关系求某系数的问题.法一用两直线的斜率关系，法二用了项的系数关系.,2.两直线的斜率关系公式要在两直线的斜率都存在的前提下才好用，否则分类讨论；,3.当给出的是斜截式方程，可以用法一；当给出的是一般式方程，用法二较方便.,点评：,求经过直线：和直线：的交点，且（1）垂直于直线：的直线的方程;（2）平行于直线：的直线的方程;（3）在两坐标轴上截距相等的直线方程.,例2.,解:（1）方法一:先解方程组,得的交点(-1,2),再由的斜率求出l的斜率为-,于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.,方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过两直线的交点(-1,2)，故5(-1)+32+C=0,由此求出C=-1,故l的方程为5x+3y-1=0.,（2）,故是直线系中的一条,而l过两直线的交点(-1,2),故，由此求出，故l的方程为.,（3）当截距为0时，设方程为，将点（-1，2）代入，可得，当截距不为0时，则斜率为-1，设方程为，将点（-1，2）代入，可得,1.解法一利用点斜式求直线方程，是求直线方程的通法，是大家要能很熟练掌握的方法；,2.一般地，直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(mC)，其中m待定，这是常常使用的解题技巧（直线系方程）.,点评：,3.两直线的平行和垂直是两直线位置关系的两种特殊形式，两直线的相交在两直线的位置关系中更为普遍，如下面的变式题.,变式题：,过点A（0，1）的直线l与直线x-3y+10=0和2x+y-8=0交于M、N，若MN恰好被点A平分，求此直线l的方程.,析：所求直线与两已知直线的交点关于点A对称，可以先设出所求直线与已知直线的交点，利用中点坐标公式和点在直线上两个条件求解.,解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为点M在直线x-3y+10=0上，所以-t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为x+4y-4=0.,已知直线过点(3，4)且与点(-2.2),(4.-2)等距离,求直线方程.,析：据图观察，有两条直线：,一直线与AB平行；,一直线与AB相交且经过AB中点.,探究点2距离问题,例3.,A,B,P,y,x,o,解：当直线和直线AB平行时，即2x+3y-18=0;当直线过AB中点O（1，0）时，方程为：y=2(x-1),即2x-y-2=0,A,B,两条平行线分别过点A（6，2）、B（-3，-1）并各自绕点A、B旋转，d表示两直线间的距离.（1）求d的取值范围（2）当d取最大时，求两直线的方程.,y,x,o,例4.,解：（1）；（2）当d最大时，两平行线与直线垂直.，过点的直线方程为：，即；过点的直线方程为：，即.,点评：,这类问题借助几何图形解决更直观，注意数形结合思想的运用.,探究点3对称问题,例5,已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：（1）点A关于直线l对称点A1的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线l1的方程.,解:(1)设A1(x,y)，再由已知得,（2）在l上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M,N关于点A的对称点M1,N1均在直线l1上，易得M1(-3,-5),N1(-6,-7).再由两点式可得L1的方程为2x-3y-9=0.,变式题：,光线由点射出，遇到直线：后被反射，已知反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.,A,B,A1,y,x,o,析：点A关于直线的对称点A1在反射光线上.,解：设点A关于l的对称点为,则,即,即,所求直线方程为,.,点评：,1.求点关于直线的对称点时，除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可用求轨迹的思想代入法来求解；2.许多问题隐含对称性，要注意挖掘，充分利用对称变换解决.例如角平分线，线段中垂线，光线反射等等.,小结：,1.判断两直线平行或垂直时，若用斜率来判