数值分析牛顿插值法

2.2.2Newton插值法,2.2.3等距节点插值公式,华长生制作,2,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为,形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多,由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成,共n+1个多项式的线性组合,那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？,华长生制作,3,显然，多项式组,线性无关，,因此，可以作为插值基函数,华长生制作,4,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂,为此引入差商和差分的概念,华长生制作,5,一、差商(均差),定义1.,称,依此类推,华长生制作,6,差商具有如下性质(请同学们自证)：,显然,华长生制作,7,(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,如,用余项的相同证明,华长生制作,8,差商的计算方法(表格法):,规定函数值为零阶差商,差商表,Chashang.m,华长生制作,9,例1求f(xi)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表,华长生制作,10,二、Newton基本插值公式,设插值多项式,满足插值条件,则待定系数为,华长生制作,11,称,定义3.,由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为,为k次多项式,华长生制作,12,因此可得,下面推导余项的另外一种形式,华长生制作,13,因此,一般,Newton插值估计误差的重要公式,另外,华长生制作,14,华长生制作,15,2.2.3等距节点插值公式,定义.,华长生制作,16,依此类推,可以证明,如,华长生制作,17,差分表,华长生制作,18,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,华长生制作,19,依此类推,华长生制作,20,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,华长生制作,21,则插值公式,化为,其余项,化为,华长生制作,22,称,为Newton向前插值公式（又称为表初公式）,插值余项为,华长生制作,23,插值余项为,根据向前差分和向后差分的关系,如果假设,可得Newton向后插值公式,2.Newton向后(差分)插值公式,华长生制作,24,例4设x0=1.0,h=0.05,给出在处的函数值如表2-5的第3列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。,01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.0723841.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214,表2-5,华长生制作,25,解用Newton向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得,例2.5已知f(x)=sinx的数值如表2-6的第2列，分别用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。,华长生制作,26,解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,则t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.578910.54714。误差为,华长生制作,27,若用Newton向后插值公式，则可取x0=0.4