11.2直线的倾斜角和斜率

3.1.1直线的倾斜角和斜率,北大附中张志成,数学史,在数学史上，曾有几位数学家，他们想创造一种能解决世界上一切问题的方法，法国著名数学家笛卡尔就是期中一位，他们的设想是：“任何问题数学问题代数问题方程问题求解方程得到结论”。因此，如何用代数的方法解决几何问题是他们遇到的难题之一。,据说一天，当笛卡尔躺在床上休息时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，突然苍蝇爬过的地方留下一个小黑点，笛卡尔惊呆了，苍蝇爬过的痕迹不就是自己研究的直线与曲线问题吗？这就产生了解析几何学，有了直角坐标系，点就可以用坐标表示，从而使得用代数方法来研究几何问题有了可能。,数学来源于生活,建立模型，引入新知,思考：大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？,步骤一：建立一个直角坐标系，如何建立最合理呢？,建模步骤：,思考:这些斜拉索可以看成直角坐标系下的直线，这些直线有共同点与不同点呢？,步骤二：在这个直角坐标系下，这些斜拉索可以看成什么呢？,探究一：直线的倾斜角,问题1:在直角坐标系中，一条直线与x轴相交，则该直线与x轴都有一个相对的倾斜度，用哪些量来刻画这种倾斜程度呢？,问题2：当一条直线与x轴相交会形成四个角，选用哪个角进行研究更方便些呢？,P,y,o,x,A,倾斜角的概念,当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angleofinclination）,o,问题4:同学们自己画出已知直线的倾斜角,问题5：倾斜角的范围是多少呢？,规定：直线与轴平行或重合时，倾斜角为,倾斜角的取值范围为：,倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中的“数”能否表示直线的倾斜程度呢？,物理学中：坡度,日常生活中，常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的坡度(倾斜程度).,坡角,坡度=,即坡角的正切值.,倾斜角,坡度,?,一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.,二.直线的斜率,探究二：倾斜角与斜率的关系,斜率的取值范围：,练习：1、已知下列命题：若是直线l的倾斜角，则001800.若k是直线的斜率，则kR.任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确的命题有（）A0个B1个C2个D3个,D,2、直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则（）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2,D,问题7.在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且(x1x2)，能否用点的坐标来表示直线斜率？,探究三：过两点的直线的斜率公式,我们已知两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。那么直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。,探究：,（）,当直线的方向向上时：,X,Y,O,（1）,当直线的方向向下时，,同理也有,例1.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),则直线P1P2的斜率公式：,k=,(1)A(3,2),B(-4,1),问题8.斜率公式与P1P2两点的顺序有关吗？特殊地,当直线与x轴,y轴平行或重合时，结论是否成立？,(2)B(-4,1),C(0,-1),变式:对于(1)若求BA两点的斜率呢？,若把B改为D(2,2)呢？,若把B改为D(3,4)呢？,例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线。,(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-3),当堂检测答案：1：（1）（2）（3）（4）2：3：4：5:,当堂检测,ktan（90）,1直线的倾斜角,2直线的斜率：,