《偏导数全微分》PPT课件

2020年5月12日星期二,1,一、偏导数的定义及其计算法,第二节偏导数,多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。,定义,引例:,研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是将振幅,求u(x0,t)关于t的一阶与二阶导数。,u(x,t)中的x固定于x0处,2020年5月12日星期二,2,偏导数的几何意义,如图,2020年5月12日星期二,3,几何意义,fx(x0,y0)是曲线在点(x0,y0,z0)处的切线沿x轴的斜率。,fy(x0,y0)是曲线在点(x0,y0,z0)处的切线沿y轴的斜率。,偏导函数,2020年5月12日星期二,4,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,2020年5月12日星期二,5,例设,求f(x,y)的偏导数。,解,2020年5月12日星期二,6,偏导数存在、连续、极限存在的关系,在(0,0)极限不存在，,例如,在(0,0)不连续，,但。,2020年5月12日星期二,7,二、高阶偏导数,2020年5月12日星期二,8,问题：,混合偏导数都相等吗？,例,设,求二阶混合偏导数。,解,2020年5月12日星期二,9,按定义可知：,2020年5月12日星期二,10,例9证明函数满足拉普拉斯方程,例8证明函数满足拉普拉斯方程,2020年5月12日星期二,11,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),2020年5月12日星期二,12,思考与练习：,设z=f(u)，方程,确定u是x,y的函数,连续,且,解：,2020年5月12日星期二,13,作业,P635（1）（3）（5）；6（1）（3）（5）；7,（1）；8；P693；4；5；6（2）（3）；7；8；9（2）,2020年5月12日星期二,14,第三节、全微分的定义,一、全微分的概念,1.回忆：一元函数的微分,2.二元函数的偏增量与偏微分,中值定理：,2020年5月12日星期二,15,3.二元函数的全增量与全微分,全增量,例1,求在(x,y)和(1,1)的全微分,其中,全微分定义（略）,则称为二元函数在(x,y)的全微分。,其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关。,若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。,2020年5月12日星期二,16,注：,类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：（1）dz是z的线性主部；（2）误差为o(),2.函数z=f(x,y)在点(x,y)可微函数在该点连续。,3.几何意义：函数z=f(x,y)在(x,y)点可微曲面z=f(x,y)在(x,y)点切平面存在。,由微分定义:,2020年5月12日星期二,17,二、可微分的条件,证明：,定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在点(x,y)的偏导数存在，且z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为:。,2020年5月12日星期二,18,注意：定理1的逆定理不成立，即:偏导数存在不一定可微!,反例：,则,2020年5月12日星期二,19,证明：,2020年5月12日星期二,20,例2计算函数,的全微分。,2020年5月12日星期二,21,例3设,解:,利用轮换对称性,可得：,2020年5月12日星期二,22,证明：,（1）令：,则,?,2020年5月12日星期二,23,（2）,不存在。,2020年5月12日星期二,24,注:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件。,2020年5月12日星期二,25,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,2020年5月12日星期二,26,课外作业：,2020年5月12日星期二,27,全微分在近似计算中的应用,也可写成,2020年5月12日星期二,28,解,由公式得,2020年5月12日星期二,29,练习题,2020年5月12日星期二,30,2020年5月12日星期二,31,2020年5月12日星期二,32,练习题答案,2020年5月12日星期二,33,2020年5月12日星期二,34,2020年5月12日星期二,35,不存在.,观察,播放,2020年5月12日星期二,36,不存在.,观察,2020年5月12日星期二,37,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,38,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,39,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,40,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,41,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,42,观察,不存在.,2020年5月12日星期二,43,观察,不