《Green公式》PPT课件

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,单连通区域,复连通区域,一、区域连通性的分类,10.3Green公式,平面区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿边界曲线L的正向行走时,区域D总在他的左边.,L由L1与L2组成,二、Green公式,定理1:设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中L是D的取正向的边界曲线.公式(1)叫Green公式.,(1),证明(1):若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线穿过区域内部时与边界L至多交于两点.,同理可证:,则,两式相加得:,证明(2):若区域D由分段光滑的闭曲线L围成.以如图所示为例.,用线段AB,BC将D分成三个既是X型又是Y型的区域D1,D2,D3,其边界分别为CBA+L1,AB+L2和BC+L3.,则,添加直线段AB,EF.则区域D的正向边界曲线由EHA(L1),AB,L2,BA,AGE(L1),EF,L3及FE构成.,证明(3):若区域D由不止一条闭曲线所围成,如图.,则由证明(2)知,(其中L是D的正向边界曲线),(其中L1,L2,L3构成D的正向边界曲线),Green公式的实质:沟通了沿闭曲线L上的对坐标的曲线积分与由L围成的闭区域D上的二重积分之间的联系.,格林公式成立的条件：,1）P,Q在D上具有一阶连续偏导数;2）L是闭路.,格林公式的应用计算平面面积,例1求椭圆所围成图形的面积A.,证:令,则,利用格林公式,得,例3计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.,D,L,D,练习,解,(注意格林公式的条件),例4计算其中L是由A(0,一1)沿半圆周到B(0,1)。,A(0,一1),B(0,1),解,利用格林公式，注意L不是闭路,故加作辅助线：直线BA,如果在区域G内有,A,B,1.曲线积分与路径无关的定义,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,定理2设开区域G是一个单连通域,函数P,Q在G内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:,2.曲线积分路径无关的条件,(4)对G内任意闭曲线C:.,(3)(x,y)G,;,(2)在G内存在u(x,y),使得,(1)在G内曲线积分与路径无关;,证明(1)(2),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(2)(3),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(3)(4),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(4)(1),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(4),注,(1)定理条件:,(2)求u(x,y):使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,注意,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;（折线）,解,例7验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,例8验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,或,小结,练习1.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用