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文档简介

2曲面的第一基本形式,2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距交换2.6保角变换,2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长,给出曲面S：上的曲线C：或对于曲线C有或者,若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有,则有令则有,设曲线上两点，则弧长为（*）是关于微分的一个二次形式，称为曲面的第一基本形式，用表示：它的系数称为曲面的第一类基本量。,对于曲面的特殊参数表示，有则由（2.19）有曲面的第一基本形式为,由第一类基本量定义知又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式因此第一基本量满足不等式第一基本形式是正定的。也可有直接得出。,注：曲面的第一基本形式是不变量（参数变换下不变）,例1求球面的第一基本形式。,.,解：,例2求正螺面的第一基本形式。,解：,2.2曲面上两方向的交角,前面提过曲面上一点的切方向称为曲面上的方向，表示为给出一方向就等于给出一对值，由于方向和的长度无关，所以给出就能确定曲面上的一方向。以后用或表示曲面上的一方向。,给出曲面上两个方向和，我们把向量和间的交角称为方向和间的角。,求方向和间的角。由于所以由于,由此得的表达式由上式推出曲面上两个方向和垂直的充要条件是,特别地有坐标曲线和的交角有表达式,注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0。,例3证明旋转面的坐标网是正交的。,解：,2.3正交曲线族和正交轨线,给出两族曲线如果他们正交，可以得出即或,另外如果给出一族曲线则另一族和它
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