斐波那契数列与黄金分割

自然界美丽的主宰者斐波那契数列与黄金分割,上海大学数学实践工作站,=0.618033988749894848204586834365,1:1.618,0.618,公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯,公元前3世纪古希腊数学家欧几里得,现在我们中学里学的几何学，本质上还是以几何原本为蓝本的.几何原本的手稿今已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修改本、注释本或翻译本重新整理出来的，但和红楼梦只传下来大半部手稿的情形不同，基本上仍保留了原来的内容和状态。,几何原本共十三卷，多处涉及到黄金分割的内容。,在第六卷中讲比例时，给出了如下的定义：分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。中外比(extremeandmeanratio)后称为黄金分割。,在第二卷（讲面积）、第四卷（讲五边形）中也有所应用。,在同一卷中，给出了分已知线段为中外比的方法及有关的一些性质。,第八卷整卷在讲正十二面体、正二十面体的构成时，反复地利用了黄金分割及有关的性质（中译本计39页）。,2500年前古希腊数学家毕达哥拉斯,考虑到欧几里德只是系统总结了当时几何学已有的成就，有关黄金分割的概念和知识很可能在2500年前就已经有了。,但这样古老的数学内容不仅没有被历史的演变和科学的进步所淘汰，相反，却永葆青春，并越来越引起人们的注意和重视。,古希腊的数学家不必说了，中世纪的意大利数学家裴波那契(Fibonacci,约11701240),文艺复兴时代的德国天文学家开普勒(Kepler,15711630)，以及当代的一些著名科学家都对它十分关注，并投入了大量的精力。,意大利的数学家列昂那多斐波那契在1202年提出这样一个问题,斐波那契（LeonardoPisanoFibonacci;11701250）,设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？（取自斐波那契的算盘书（1202年）,1月1对,2月1对,1月1对,2月1对,3月2对,1月1对,2月1对,3月2对,4月3对,1月1对,2月1对,3月2对,4月3对,5月5对,1月1对,2月1对,3月2对,4月3对,5月5对,6月8对,1月1对,2月1对,3月2对,4月3对,5月5对,6月8对,7月13对,一年后兔子总数为144对,第n个月兔子数,第一个月兔子数,第二个月兔子数,第三个月兔子数,随着时间不断流逝。,从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数列”，数列中的每一个数称为斐波那契数,按照递推公式计算，得到1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被2整除,从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,第4、第8、第12项的数字，能夠被3整除,第5、第10项的数字，能夠被5整除其余的，如此类推,现在我们来找数列的通项,斐波那契数列满足,我们将斐波那契数列分解为两个等比数列之和，再将两个等比数列的第n项相加得到斐波那契数列的通项公式,等比数列的通项公式,代入条件,得,解之得两个根,找到两个等比数列,还要满足,得,从而斐波那契数列的通项为,随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近0.6180339887,黄金分割数,黄金分割的精确表示,黄金分割数,黄金分割和斐波那契数列关系非常密切，它们是数学家玩的数学游戏吗？是数学家凑出来的吗？,不是！,大自然中的斐波那契数列与黄金分割,花瓣的数目,1个花瓣的马蹄莲，2个花瓣的虎刺梅，3个花瓣的延龄草，5个花瓣的飞燕草，8个花瓣的大波斯菊，13个花瓣的瓜叶菊,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,21个花瓣的紫菀,34个花瓣的雏菊,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,菊花、向日葵、松果、菠萝都是按这种方式生长的，仔细观察向日葵的果实排列，你会发现两组螺旋线一组顺时针盘绕，另一组逆时针盘绕，并且彼此镶嵌。虽然不同品种的向日葵顺、逆时针和螺旋线的数量不同，但都不会超过34和55、55和89、89和114这三组数字。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列,13853211,斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。,137.50,360-137.5,0.618,斐波那契螺线，也称黄金螺线,第一类是底与腰之比为黄金数的三角形；两个底角为72，顶角为36；这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(5-1)/2.,第二类是腰与底之比是黄金数的三角形;两个底角为36，顶角为108；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(5-1)/2.,人是很奇妙的生物，本身存在很多黄金分割点，而基因是最奇妙的东西，DNA具有双螺旋结构，如果把两条螺旋线之间的距离比做1，那么，两个波距长的，距离0.618，短的，距离0.382。,飓风,海浪,银河系,当人们发现了自然界秘密后，把黄金分割和斐波那契数列应用到生活中，得到了让人惊喜结果,金字塔4000多年前,帕提农神庙2400多年前,满足黄金分割的建筑让人感觉特别雄伟壮丽,米洛的维纳斯（VenusdeMilo）,蒙娜丽莎（达芬奇）,贝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、德彪西、舒伯特等在他们的音乐里流淌着黄金分割的完美和谐.在乐章、节中、乐曲中的大小高潮大都处在乐曲的5：8的交叉点上.斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时也运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置.黄金分割律是小提琴系统工程中的一个重要组成部分.,在雅克索尼埃尸体旁的地板上留下了一串数字13-3-2-21-1-1-8-5他的孙女意识到这是她祖父向她传达的信息.她将此数字按从小到大顺序排列,就成为来自斐波那契数列的一组数字1-1-2-3-5-8-13-21后来,在开启她祖父在银行的保险柜时,最终打开保险柜所用的密码也就是1123581321这一数字。,当然,在涉及艺术、音乐等领域中，各人的主观感觉起着重要作用，说一定要严格地符合黄金分割的原则,恐怕过于牵强附会，能够符合到“八九不离十”的地步,就很不错了。因此,我们说黄金分割无处不在。这是一个事实.但也不能机械地、形而上学地去理解，认为连小数点后面第几位都应该完全符合，这样的“削足适履”反而会闹出笑话，也不利于创造性的思维，能大体符合黄金分割的原则，就很足以使人赞叹了。,优选法,假设在区间0,1上有一个单峰函数y=f(x).我们要求使其达到极大值的点x0(最优配方，最佳工作点等）。,在应用中,我们虽然可以对每个给定的值,测到相应的函数值,但往往并不知道函数的表达式及具体图象。在这样的情况下,如何找到取极大值的点,也就是找到最优的选择呢？,可以在0,1区间上作一系列的分点并测出在这些点上的函数值就可画出此函数的大致的图象，从而近似地找到所要求的极大值点。但这种做法劳民伤财，并不可取。,优选法华罗庚教授在二十世纪六、七十年代大力提倡的方法（美国数学家Kiefer于1953年首先提出）,在区间0,1上按一定的原则取两点Af(B),则在单峰函数的情形只有下面两种情形：在区间B,1上的函数肯定没有机会取到最大值，因而可以全部不予考虑。原先要考虑区间0,1，现在一下子缩小为只需考虑区间0,B.,对缩小的区间又可重复上面的做法，即用同样的原则取其中的两个点，并比较其上的函数值。但这时，原先的A及B两个点中还有一个点在这个缩小的区间中，其上已求得的函数值应该加以利用。只要A,B中剩下的这一个点在缩小的区间上仍符合选点的原则，就可继续加以利用，而在缩小的区间上只需要再测量一个点的函数值进行比较就够了。,在一个区间上取两个点的原则应是：这两个点应关于区间的中点对称配置，同时，其中的任何一个点应同时是缩小区间上的一个这样的点。优选法在一个区间中所选的两个点就是此区间上的左、右黄金分割点。优选法就是基于黄金分割的选优